Nombre d'or

Renseignements généraux

Enfants SOS ont produit une sélection d'articles de wikipedia pour les écoles depuis 2005. parrainage d'enfants aide les enfants un par un http://www.sponsor-a-child.org.uk/ .

Les segments de ligne dans le nombre d'or

Un rectangle d'or avec plus d'un côté et plus court côté b, lorsqu'il est placé à côté d'un carré dont les côtés de longueur a, va produire une rectangle d'or similaire avec le côté plus long a + b et un côté plus court. Ceci illustre la relation $\ Frac {a + b} {a} = \ frac {a} {b} \ equiv \ varphi$ .

Dans les mathématiques et les arts , deux quantités sont dans le rapport d'or si le rapport de la somme des quantités de la plus grande quantité est égale au rapport de la quantité plus grande de la plus petite. La figure de droite illustre la relation géométrique. Exprimée algébriquement:

$\ Frac {a + b} {a} = \ frac {a} {b} \ \ stackrel {\ text {def}} {} = \ \ varphi,$

où la lettre grecque phi ( $\ Varphi$ ) Représente le nombre d'or. Sa valeur est:

$\ Varphi = \ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} = 1,61803 \, 39887 \ ldots.$

Le nombre d'or est aussi appelé la section d'or (en latin: aurea sectio) ou d'or. Autres noms incluent extrême et rapport moyen, section médiane, la divine proportion, section divine (latin: sectio divina), la proportion d'or, coupe d'or, et nombre d'or.

Beaucoup 20ème siècle artistes et architectes ont proportionné leurs travaux pour rapprocher le rapport-particulier d'or sous forme de rectangle d'or, dans lequel le rapport de la côté le plus long au plus court est le rapport-croyant cette proportion en or pour être esthétiquement agréable (voir Applications et observations ci-dessous). mathématiciens depuis Euclide ont étudié les propriétés du nombre d'or, y compris son apparition dans les dimensions d'une pentagone régulier et dans un rectangle d'or, qui peut être coupé en un carré et un petit rectangle avec le même rapport d'aspect. Le nombre d'or a également été utilisé pour analyser les proportions des objets naturels ainsi que des systèmes artificiels tels que marchés financiers, dans certains cas, sur la base des crises douteuses aux données.

Calcul

Liste des numéros Nombres irrationnels irrationnels et soupçonnés γ ζ (3) √ 2 √ 3 √ 5 φ ρ δ _S $e$ $π$ δ
Binaire	1,1001111000110111011 ...
Décimal	1,6180339887498948482 ...
Hexadécimal	1.9E3779B97F4A7C15F39 ...
Fraction continue	$1 + \ cfrac {1} {1 + \ cfrac {1} {1 + \ cfrac {1} {1 + \ cfrac {1} {1 + \ ddots}}}}$
Forme algébrique	$\ Frac {1 + \ sqrt {5}} {2}$
Série infinie	$\ Frac {13} {8} + \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ {(n + 1)} (2n + 1)!} {(N + 2)! n! 4 ^ {(2n + 3)}}$

Deux grandeurs a et b sont dits être dans le rapport d'or φ si:

$\ Frac {a + b} {a} = \ frac {a} {b} = \ varphi.$

Un procédé pour trouver la valeur de φ est de commencer avec la fraction gauche. Grâce à la simplification de la fraction et son remplacement en b / a = 1 / φ,

$\ Frac {a + b} {a} = 1 + \ frac {b} {a} = 1 + \ frac {1} {\ varphi},$

il est démontré que

$1 + \ frac {1} {\ varphi} = \ varphi.$

Multipliant par φ donne

$\ Varphi + 1 = \ varphi ^ 2$

qui peuvent être reconstituées à

${\ Varphi} ^ 2 - \ varphi - 1 = 0.$

En utilisant la formule quadratique , deux solutions sont obtenues:

$\ Varphi = \ frac {1 + \ sqrt {5}} {2} = 1,61803 \, 39887 \ dots$

$\ varphi = \ frac {1 - \ sqrt {5}} {2} = -0,6180 \, 339 887 \ dots$

En raison du fait que φ est le rapport entre la longueur et la largeur d'un rectangle, qui sont non nuls, la solution doit être choisie positif:

$\ Varphi = \ frac {1 + \ sqrt {5}} {2} = 1,61803 \, 39887 \ dots$

Histoire

Mathématicien Mark Barr a proposé d'utiliser la première lettre du nom du sculpteur grec Phidias, phi, pour symboliser le nombre d'or. Habituellement, la forme minuscule (φ) est utilisé. Parfois, la forme de majuscules (Φ) est utilisé pour la réciproque du nombre d'or, 1 / φ.

Michael Maestlin, premier à publier une approximation décimale du nombre d'or, en 1597.

Le nombre d'or a fasciné les intellectuels occidentaux de divers intérêts pendant au moins 2400 années. Selon Mario Livio:

Certains des plus grands esprits mathématiques de tous âges, de Pythagore et Euclide dans la Grèce antique , par le mathématicien italien médiévale Leonardo de Pise et de l'astronome de la Renaissance Johannes Kepler , à aujourd'hui personnalités scientifiques comme Oxford physicien Roger Penrose, ont passé des heures interminables sur ce rapport simple et ses propriétés. Mais la fascination avec le nombre d'or ne se limite pas simplement à des mathématiciens. Biologistes, artistes, musiciens, historiens, architectes, psychologues, et même mystiques ont réfléchi et débattu la base de son ubiquité et d'appel. En fait, il est probablement juste de dire que le ratio d'or a inspiré des penseurs de toutes les disciplines comme aucun autre nombre dans l'histoire des mathématiques.

Grèce antique mathématiciens abord étudié ce que nous appelons maintenant le nombre d'or en raison de son apparition fréquente dans la géométrie . La division d'une ligne dans (la section d'or) "rapport extrême et moyenne" est important dans la géométrie de la régulière pentagrammes et pentagones. La Grecs généralement attribuée la découverte de ce concept à Pythagore ou de son adeptes. Le pentagramme régulière, qui a un pentagone régulier inscrit en son sein, était le symbole des pythagoriciens.

Euclid s ' Elements ( grec : Στοιχεῖα) fournit la définition écrite d'abord connu de ce qu'on appelle maintenant le nombre d'or: "Une ligne droite est dit avoir été coupé dans l'extrême et le ratio signifie lorsque, comme l'ensemble de la ligne est de la plus grande secteur , est ainsi le plus à moins. " Euclid explique une construction pour la coupe (coupe) une ligne "en rapport extrême et moyenne", ce est à dire, le nombre d'or. Tout au long des éléments, plusieurs propositions ( théorèmes dans la terminologie moderne) et leurs preuves emploient le nombre d'or. Certaines de ces propositions montrent que le nombre d'or est un nombre irrationnel .

Le nom de «rapport extrême et moyenne" était le terme principal utilisé à partir du 3ème siècle avant notre ère jusqu'à environ le 18ème siècle.

L'histoire moderne de la proportion dorée commence par Luca Pacioli De divina proportione de 1509, qui a capturé l'imagination des artistes, des architectes, des scientifiques et mystiques avec les propriétés, mathématiques et autres, de la proportion dorée.

La première approximation connue du (inverse) de nombre d'or par une fraction décimale , a déclaré que "environ 0,6180340", a été écrit en 1597 par Michael Maestlin du Université de Tübingen dans une lettre à son ancien élève Johannes Kepler .

Depuis le 20ème siècle , le nombre d'or a été représentée par le lettre grecque ou Φ φ ( phi, après Phidias, sculpteur qui est dit avoir employé il) ou, moins fréquemment par τ ( tau, la première lettre du grec ancien coupe-τομή signifie racine).

Chronologie

Chronologie selon Priya Hemenway:

Phidias (490-430 BC) a fait les Parthénon statues qui semblent incarner le nombre d'or.
Platon (427-347 avant JC), dans son Timée, décrit cinq solides réguliers possibles (les des solides platoniciens : le tétraèdre , cube , l'octaèdre , dodécaèdre, et icosaèdre), dont certaines sont en relation avec le nombre d'or.
Euclid (.. c 325 c 265 BC), dans ses Éléments , a donné la première définition enregistrée du nombre d'or, qu'il a appelé, que traduit en anglais, «extrême et le ratio signifie" (en grec: ἄκρος καὶ μέσος λόγος).
Fibonacci (1170-1250) a mentionné la série numérique porte aujourd'hui son nom dans son Liber Abaci; le rapport des éléments séquentiels de la suite de Fibonacci se approche asymptotiquement le rapport d'or.
Luca Pacioli (1445-1517) définit le nombre d'or comme le «divine proportion» dans son Divina Proportione.
Michael Maestlin (1550-1631) publie le rapprochement d'abord connu du (inverse) nombre d'or comme une fraction décimale .
Johannes Kepler (1571-1630) prouve que le nombre d'or est la limite du ratio des nombres de Fibonacci consécutifs, et décrit le nombre d'or comme un «joyau»: «géométrie a deux grands trésors: l'un est le théorème de Pythagore , et l'autre la division d'une ligne en rapport extrême et moyenne; la première on peut comparer à une mesure de l'or, la deuxième nous pouvons nommer un bijou précieux ". Ces deux richesses sont combinés dans le Kepler triangle.
Charles Bonnet (1720-1793) souligne que dans la spirale phyllotaxie des plantes aller dans le sens horaire et anti-horaire étaient souvent deux séries de Fibonacci successifs.
Martin Ohm (1792-1872) est considéré comme le premier à utiliser le terme goldener Schnitt (section or) pour décrire ce rapport, en 1835.
Édouard Lucas (1842-1891) donne la séquence numérique maintenant connu comme la séquence de Fibonacci de son nom actuel.
Mark Barr (20e siècle) suggère la lettre phi grec (φ), la première lettre du nom de sculpteur grec Phidias, comme un symbole pour le nombre d'or.
Roger Penrose (b.1931) a découvert un motif symétrique qui utilise le nombre d'or dans le domaine de pavages apériodiques, qui ont conduit à de nouvelles découvertes sur quasicristaux.

Applications et observations

Esthétique

De Divina Proportione, un ouvrage en trois volumes par Luca Pacioli, a été publié en 1509. Pacioli, un Franciscain frère, a été surtout connu en tant que mathématicien, mais il a également été formé et vivement intéressé par l'art. De Divina Proportione exploré les mathématiques de la proportion dorée. Bien qu'il est souvent dit que Pacioli a préconisé l'application de la proportion dorée pour obtenir, des proportions harmonieuses agréables, Livio souligne que l'interprétation a été attribuée à une erreur en 1799, et que Pacioli effectivement préconisé la Système de Vitruve de proportions rationnelles. Pacioli a également vu signification religieuse catholique dans le rapport, qui a conduit à le titre de son travail. Contenant des illustrations de solides réguliers par Leonardo da Vinci , de longue date, l'ami et collaborateur de Pacioli, De Divina Proportione était une grande influence sur des générations d'artistes et d'architectes de même.

Architecture

Beaucoup des proportions de le Parthénon est allégué que présenter le nombre d'or.

La façade de l'Parthénon ainsi que des éléments de sa façade et ailleurs sont dit par certains d'être circonscrites par des rectangles d'or. D'autres chercheurs nier que les Grecs avaient toute association esthétique avec nombre d'or. Par exemple, Midhat J. Gazalé dit, "Ce ne est que Euclide, cependant, que les propriétés mathématiques du nombre d'or ont été étudiés. Dans les éléments (308 BC), le mathématicien grec simplement considéré ce nombre comme un nombre irrationnel intéressant, dans le cadre de les ratios moyens et extrêmes. Sa présence dans pentagones réguliers et décagones a été dûment observées, ainsi que dans le dodécaèdre (une polyèdre régulier dont les faces sont douze pentagones réguliers). Il est en effet exemplaire que la grande Euclid, contrairement aux générations de mystiques qui ont suivi, traiterait sobrement ce nombre pour ce qu'elle est, sans y attacher autre que ses propriétés de fait. "Et Keith Devlin dit: «Certes, l'affirmation souvent répétée que le Parthénon à Athènes est basée sur le nombre d'or ne est pas soutenu par des mesures réelles. En fait, toute l'histoire sur les Grecs et nombre d'or semble être sans fondement. La seule chose nous savons pour sûr est que Euclide, dans son célèbre ouvrage Elements, écrit vers 300 avant JC, a montré comment calculer sa valeur ". Près de sources contemporaines comme Vitruve discuter exclusivement des proportions qui peuvent être exprimés en nombres entiers, ce est à dire en rapport, par opposition à des proportions irrationnelles.

A 2004 analyse géométrique des recherches antérieures dans le Grande Mosquée de Kairouan révèle une application cohérente du nombre d'or dans toute la conception, selon Boussora et Mazouz. Ils ont trouvé ratios fermer le nombre d'or dans la proportion globale du plan et dans le dimensionnement de l'espace de prière, le tribunal et le minaret. Les auteurs notent toutefois que les zones où les taux proches du nombre d'or ont été trouvés ne font pas partie de la construction d'origine, et théorisent que ces éléments ont été ajoutés dans une reconstruction.

Les Suisses architecte Le Corbusier, célèbre pour ses contributions à la moderne style international, centré sa philosophie de conception sur les systèmes de l'harmonie et de proportion. La foi de Le Corbusier à l'ordre mathématique de l'univers a été étroitement lié à la proportion dorée et la série de Fibonacci, qu'il a décrit comme "rythmes apparents à l'œil et clairs dans leurs relations avec l'autre. Et ces rythmes sont à la racine même de les activités humaines. Ils résonnent chez l'homme par une fatalité biologique, même inévitable amende qui provoque le tracé sur la section d'or par des enfants, des vieillards, des sauvages et les savants. "

Le Corbusier a explicitement utilisé le nombre d'or dans son Système pour le Modulor échelle de proportion architectural. Il a vu ce système comme une continuation de la longue tradition de Vitruve, de Léonard de Vinci " Homme de Vitruve ", le travail de Leon Battista Alberti, et d'autres qui ont utilisé les proportions du corps humain pour améliorer l'apparence et la fonction de l'architecture . En plus du nombre d'or, Le Corbusier basée sur le système mesures humaines, les nombres de Fibonacci , et la double unité. Il a pris suggestion du nombre d'or dans des proportions humaines à l'extrême: il sectionné la hauteur de son modèle corps humain au niveau du nombril avec les deux sections de nombre d'or, puis subdivisé ces sections dans nombre d'or au niveau des genoux et de la gorge; il a utilisé ces proportions de nombre d'or dans le Système Modulor. 1927 Villa Stein de Le Corbusier à Garches illustré la demande du système Modulor. Rectangulaire sol le plan de la villa, l'altitude et la structure interne des rectangles d'or près approximatives.

Un autre architecte suisse, Mario Botta, fonde beaucoup de ses dessins sur des figures géométriques. Plusieurs maisons privées, il a conçu en Suisse sont composées de carrés et des cercles, des cubes et des cylindres. Dans une maison, il a conçu en Origlio, le nombre d'or est la proportion entre la section centrale et les sections latérales de la maison.

Dans un livre récent, auteur Jason Elliot spéculé que le nombre d'or a été utilisé par les concepteurs de la Naqsh-e Jahan Square et la mosquée de Lotfollah adjacente.

Peinture

Le dessin du corps d'un homme dans un pentagramme suggère relations à la proportion dorée.

Le philosophe du 16ème siècle Heinrich Agrippa a attiré un homme sur un pentagramme intérieur d'un cercle, ce qui implique une relation avec le nombre d'or.

Leonardo da Vinci illustrations s 'de polyèdres dans De divina proportione (Sur la Divine Proportion) et son point de vue que certaines proportions corporelles présentent le nombre d'or ont conduit certains chercheurs à spéculer que il a incorporé le nombre d'or dans ses peintures. Mais la suggestion que sa Mona Lisa , par exemple, emploie des proportions de nombre d'or, ne est pas pris en charge par quoi que ce soit dans les propres écrits de Léonard de Vinci. De même, bien que le Homme de Vitruve est souvent montré en relation avec le nombre d'or, les proportions de la figure ne correspond pas réellement, et le texte ne mentionne que les rapports de nombres entiers.

Salvador Dalí, influencé par les oeuvres de Matila Ghyka, utilisé explicitement le nombre d'or dans son chef-d'œuvre, La Dernière Cène. Les dimensions de la toile sont un rectangle d'or. Un grand dodécaèdre, en perspective de sorte que les bords sont en nombre d'or à une autre, est suspendu au-dessus et derrière Jésus et domine la composition.

Mondrian a été dit d'avoir utilisé la section d'or abondamment dans ses peintures géométriques, bien que d'autres experts (y compris critique Yve-Alain Bois) ont contesté cette allégation.

Une étude statistique sur 565 œuvres d'art de différents grands peintres, effectuées en 1999, a constaté que ces artistes ne avaient pas utilisé le nombre d'or de la taille de leurs toiles. L'étude a conclu que le ratio moyen des deux côtés des tableaux étudiés est de 1,34, avec des moyennes pour les artistes individuels allant de 1,04 (Goya) à 1,46 (Bellini). D'autre part, Pablo Tosto répertorié plus de 350 œuvres d'artistes bien connus, dont plus de 100 qui ont toiles avec rectangle d'or et de racines-cinq proportions, et d'autres avec des proportions comme root-2, 3, 4 et 6.

la conception du livre

Représentation des proportions dans un manuscrit médiéval. Selon Jan Tschichold: "la page proportion 2: 3. Marge proportions 1: 1: 2: 3. Zone de texte proportionné dans la section d'or."

Selon Jan Tschichold,

Il fut un temps où les écarts de la page vraiment belles proportions 2: 3, 1: √3, et la section d'or étaient rares. Beaucoup de livres produites entre 1550 et 1770 montrent que ces proportions exactement, à l'intérieur d'un demi-millimètre.

Design industriel

Certaines sources affirment que le nombre d'or est couramment utilisé dans la conception de tous les jours, par exemple dans les formes de cartes postales, cartes à jouer, des affiches, des téléviseurs à écran large, les photographies et les plaques d'interrupteur de lumière.

Musique

Ernő Lendvaï analyse Les œuvres de Béla Bartók comme étant fondée sur deux systèmes opposés, celui du nombre d'or et les échelle acoustique, bien que d'autres savants de musique rejettent cette analyse. Dans Bartok Musique pour cordes, percussion et célesta la progression de xylophone se produit à des intervalles 1: 2: 3: 5: 8: 5: 3: 2: 1. Compositeur français Erik Satie a utilisé le nombre d'or dans plusieurs de ses pièces, y compris Sonneries de la Rose + Croix. Le nombre d'or est également apparente dans l'organisation des sections dans la musique de Debussy Reflets dans l'eau (reflets dans l'eau), des images (1ère série, 1905), dans lequel "la séquence de touches est marquée par les intervalles 34, 21, 13 et 8, et l'apogée principal se trouve à la position phi ».

Le musicologue Roy Howat a observé que les limites formelles de La Mer correspondent exactement à la section d'or. Trezise trouve la preuve intrinsèque "remarquable", mais avertit le lecteur que aucune preuve écrite ou rapporté suggère que Debussy a cherché consciemment de telles proportions.

Pearl Batteries positionne les bouches d'aération sur ses modèles Master prime basée sur le nombre d'or. La société affirme que cette disposition améliore la réponse des graves et a demandé une brevet sur cette innovation.

Bien que Heinz Bohlen a proposé la non-Octave-de répéter Échelle 833 cents sur la base tons combinés, les relations avec les caractéristiques de réglage basé sur le nombre d'or. Comme un intervalle musical le rapport 1,618 833,090 ... est ... cents (Play).

Nature

Un détail d'un Aeonium tabuliforme dans Trädgårdsföreningen, Göteborg

Adolf Zeising, dont le principal intérêt étaient les mathématiques et la philosophie, trouve le nombre d'or exprimé dans la disposition des branches le long des tiges des plantes et des veines dans les feuilles. Il a étendu ses recherches aux squelettes d'animaux et les ramifications de leurs veines et des nerfs, les proportions de composés chimiques et la géométrie de cristaux, même à l'utilisation de proportion dans les efforts artistiques. Dans ces phénomènes il a vu le nombre d'or fonctionnant comme une loi universelle. Dans le cadre de son plan pour les proportions du corps humain à base de doré rapport, Zeising a écrit en 1854 d'une loi universelle »dans lequel est contenue rez-de-principe de toute formative se efforçant pour la beauté et l'exhaustivité dans les domaines de la nature et de l'art, et qui imprègne, comme un idéal capitale spirituelle, toutes les structures, formes et proportions, que ce soit cosmique ou individuel, organique ou inorganique, acoustique ou optique; "qui trouve sa pleine réalisation, cependant, dans la forme humaine.

En 2010, la revue Science a rapporté que le nombre d'or est présent à l'échelle atomique dans la résonance magnétique des spins dans les cristaux de niobate de cobalt.

Plusieurs chercheurs ont proposé des liens entre le nombre d'or et génome humain ADN .

Cependant, certains ont fait valoir que la plupart des manifestations apparentes de l'or signifie dans la nature, en particulier en ce qui concerne les dimensions des animaux, sont en fait fictive.

Optimisation

Le nombre d'or est la clé du Méthode du nombre d'or.

Études sur la perception

Des études menées par des psychologues, en commençant par Fechner, ont été conçues pour tester l'idée que le nombre d'or joue un rôle dans la perception humaine de beauté. Alors que Fechner trouvé une préférence pour des rapports de rectangle centré sur le nombre d'or, les tentatives ultérieures de tester soigneusement une telle hypothèse ont été, au mieux, peu concluantes.

Mathématiques

Nombre d'or conjugué

La racine négative de l'équation quadratique pour φ (la «racine conjugué") est

$- \ Frac {1} {\ varphi} = 1- \ varphi = \ frac {1 - \ sqrt {5}} {2} = -0,61803 \, 39887 \ points.$

La valeur absolue de cette quantité (≈ 0,618) correspond au rapport de la longueur prise dans l'ordre inverse (plus courte longueur de segment sur la longueur du plus long segment, b / a), et est parfois désigné comme étant le rapport conjugué d'or. Elle est notée ici par la capitale Phi (Φ):

$\ Phi = {1 \ over \ varphi} = \ varphi ^ {- 1} = 0,61803 \, 39887 \ ldots.$

Alternativement, Φ peut être exprimée comme

$\ Phi = \ varphi -1 = 1,61803 \, 39887 \ ldots -1 = 0,61803 \, 39887 \ ldots.$

Ceci illustre la propriété unique du nombre d'or parmi des nombres positifs, qui

${1 \ over \ varphi} = \ varphi - 1,$

ou son inverse:

${1 \ over \ Phi} = \ Phi + 1.$

Cela signifie 0,61803 ...: 1 = 1: 1,61803 ....

Courts preuves de l'irrationalité

Contradiction d'une expression en termes plus bas

Si φ étaient rationnel , il serait alors le rapport des côtés d'un rectangle avec des côtés entiers. Mais ce est aussi un rapport des côtés, qui sont également des nombres entiers, du plus petit rectangle obtenu par suppression d'un carré. La séquence de diminuer la longueur des côtés entiers formés par la suppression carrés ne peut pas être poursuivi indéfiniment, si φ ne peut pas être rationnelle.

Rappelons que:

l'ensemble est la partie la plus plus la partie la plus courte;

l'ensemble est à la partie plus que la partie ne est plus à la partie plus courte.

Si nous appelons l'ensemble n et le plus partie m, puis la seconde déclaration ci-dessus devient

n est égal à m comme m est n - m,

ou algébriquement

$\ Frac nm = \ frac {m} {n-m}. \ Qquad (*)$

Pour dire que φ est des moyens rationnels que φ est une fraction n / m où n et m sont des nombres entiers. Nous pouvons prendre la N / m pour être en termes les plus bas et n et m soit positif. Mais si n / m est en termes plus bas, alors l'identité étiqueté (*) ci-dessus dit m / (n - m) est en termes encore plus bas. Ce est une contradiction qui découle de l'hypothèse que φ est rationnel.

Dérivation de l'irrationalité des √5

Une autre preuve, peut-être à court plus communément connu-de l'irrationalité de la proportion dorée fait usage de la fermeture de nombres rationnels sous addition et la multiplication. Si $\ Textstyle \ frac {1 + \ sqrt {5}} {2}$ est rationnel, puis $\ Textstyle2 \ left (\ frac {1 + \ sqrt {5}} {2} - \ frac {1} {2} \ right) = \ sqrt {5}$ est aussi rationnelle, qui est une contradiction si elle est déjà connu que la racine carrée d'un non- carré nombre naturel est irrationnel.

Autres formes

Approximations à la proportion dorée réciproque de fractions continues finis, ou des rapports de nombres de Fibonacci

La formule φ = 1 + 1 / φ peut être étendu de manière récursive pour obtenir un fraction continue pour le nombre d'or:

$\ Varphi = [1; 1, 1, 1, \ dots] = 1 + \ cfrac {1} {1 + \ cfrac {1} {1 + \ cfrac {1} {1 + \ ddots}}}$

et son inverse:

$\ Varphi ^ {- 1} = [0; 1, 1, 1, \ dots] = 0 + \ cfrac {1} {1 + \ cfrac {1} {1 + \ cfrac {1} {1 + \ ddots}}}$

Le convergents de ces fractions continues (1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, ..., ou 1/1, 1/2, 2/3, 3/5 , 5/8, 8/13, ...) sont des ratios de successives nombres de Fibonacci .

L'équation φ ² = 1 + φ produit même l'continué racine carrée ou sourde infinie, la forme:

$\ Varphi = \ sqrt {1 + \ sqrt {1 + \ sqrt {1 + \ sqrt {1 + \ cdots}}}}.$

Une série infinie peut être dérivé d'exprimer phi:

$\ Varphi = \ frac {13} {8} + \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {! (- 1) ^ {(n + 1)} (2n + 1)} {(n + 2)! n! 4 ^ {(2n + 3)}}.$

Également:

$\ Varphi = 1 + 2 \ sin (\ pi / 10) = 1 + 2 \ péché 18 ^ \ circ$

$\ Varphi = {1 \ over 2} \ csc (\ pi / 10) = {1 \ over 2} \ csc 18 ^ \ circ$

$\ Varphi = 2 \ cos (\ pi / 5) = 2 \ cos 36 ^ \ circ$

$\ Varphi = 2 \ sin (3 \ pi / 10) = 2 \ péché 54 ^ \ circ.$

Ils correspondent au fait que la longueur de la diagonale d'un pentagone régulier est φ fois la longueur de son côté, et des relations similaires dans un pentagramme.

Géométrie

Approximative et vrai spirales dorées. La spirale vert est fabriqué à partir des quarts de cercle tangent à l'intérieur de chaque carré, tandis que la spirale est une spirale rouge d'or, un type spécial de spirale logarithmique. Parties qui se chevauchent apparaissent en jaune. La longueur du côté d'un carré divisé par celui de l'autre carré plus petit est le nombre d'or.

Le nombre φ tourne fréquemment dans la géométrie , en particulier dans les chiffres avec pentagonale symétrie . La longueur d'un régulière Pentagone diagonale est temps de φ son côté. Les sommets d'un régulière icosaèdre sont ceux de trois mutuellement orthogonal rectangles d'or.

Il est connu générale algorithme d'organiser un certain nombre de nœuds uniformément sur une sphère, pour l'un de plusieurs définitions de la distribution uniforme (voir, par exemple, Problème Thomson). Cependant, des résultats utiles d'approximation de diviser la sphère en bandes parallèles de l'égalité de la zone et en plaçant un noeud dans chaque bande à longitudes espacées par une section d'or du cercle, soit 360 ° / φ ≅ 222,5 °. Cette méthode a été utilisée pour organiser les miroirs 1500 de l'étudiant-participative satellite Starshine-3.

Division d'un segment de ligne

La division d'un segment de ligne selon le nombre d'or

Ce qui suit algorithme produit une construction géométrique qui divise une segment de ligne en deux segments de ligne où le rapport entre la plus courte pour le segment de ligne est le nombre d'or:

Avoir un segment AB, construire un BC perpendiculaire au point B, avec BC moitié de la longueur de AB. Dessinez le hypoténuse AC.
Tracez un cercle de centre C et de rayon BC. Ce cercle coupe l'hypoténuse AC au point D.
Tracez un cercle de centre A et de rayon AD. Ce cercle coupe le segment de ligne originale AB au point S. Point S divise le segment d'origine AB en segments de ligne AS et SB avec des longueurs dans le nombre d'or.

Triangle d'or, pentagone et pentagramme

Triangle d'or

Le triangle d'or peut être caractérisé comme un triangle isocèle ABC avec la propriété que bissectrice de l'angle C produit un nouveau triangle CXB qui est un triangle semblable à l'original.

Si l'angle α = BCX, puis XCA = α en raison de la dichotomie, et CAB = α cause des triangles semblables; ABC = 2α de la symétrie isocèle originale et BXC = 2α par similarité. Les angles d'un triangle se additionnent à 180 °, de sorte 5α = 180, ce qui donne α = 36 °. Ainsi, les angles du triangle d'or sont donc 36 ° -72 ° -72 °. Les angles du triangle isocèle reste obtus AXC (parfois appelé le gnomon or) sont 36 ° -36 ° -108 °.

Supposons XB a une longueur de 1, et nous appelons longueur de BC φ. En raison de la triangles isocèles XC = XA et BC = XC, ce sont donc aussi la longueur φ. Longueur AC = AB, est donc égale à φ + 1. Mais triangle ABC est semblable à triangle CXB, afin AC / BC = BC / BX, et ainsi de AC est aussi égale à φ ^2. Ainsi φ ² = φ + 1, confirmant que φ est en effet le nombre d'or.

De même, le rapport de l'aire du triangle plus grand au plus petit AXC CXB est égal à φ, alors que le raison inverse est φ - 1.

Pentagone

Dans un pentagone régulier le rapport entre un côté et une diagonale est $\ Phi$ (Ce est à dire 1 / φ), tandis que d'intersection des diagonales de l'autre section dans le nombre d'or.

La construction d'Odom

$\ Frac {| AB |} {| BC |} = \ frac {| CA |} {| AB |} = \ phi$

George Odom a donné une construction remarquablement simple pour φ impliquant un triangle équilatéral: si un triangle équilatéral est inscrit dans un cercle et le segment de ligne joignant les milieux de deux côtés est produit à couper le cercle dans l'un des deux points, puis ces trois points sont en proportion dorée. Ce résultat est la conséquence directe de la intersection accords Théorème et peuvent être utilisés pour construire un pentagone régulier, une construction qui a attiré l'attention du géomètre canadienne noté HSM Coxeter qui l'a publié au nom de Odom comme un diagramme dans le American Mathematical Monthly accompagné par le seul mot «Voilà!"

Pentacle

Un pentagone de couleur pour distinguer ses segments de lignes de longueurs différentes. Les quatre tronçons sont en rapport les uns aux autres d'or.

Le nombre d'or joue un rôle important dans la géométrie de pentagrammes. Chaque intersection des sections bords autres bords dans le nombre d'or. En outre, le rapport entre la longueur du segment plus court au segment délimité par les deux bords se croisent (un côté du pentagone dans le centre de la pentagone) est φ, que les quatre couleurs d'illustrations spectacles.

Le pentagramme comprend dix triangles isocèles : cinq aiguë et cinq obtus triangles isocèles. Dans chacun d'eux, le rapport entre le côté le plus long au côté le plus court est φ. Les triangles aigus sont triangles d'or. Les triangles isocèles sont obtus gnomons or.

Théorème de Ptolémée

Le nombre d'or dans un pentagone régulier peut être calculé en utilisant Théorème de Ptolémée.

Les propriétés de Golden Ratio d'un pentagone régulier peuvent être confirmés par l'application Le théorème de Ptolémée au quadrilatère formé par élimination d'un de ses sommets. Si bord long et diagonales du quadrilatère sont B, et les bords courts sont un, puis le théorème de Ptolémée donne ² b = a + ab ² qui rendements

${B \ sur une} = {{1+ \ sqrt {5}} \ over 2}.$

Scalenity de triangles

Considérons un triangle dont les longueurs a, b et c dans l'ordre décroissant. Définir le "scalenity" du triangle d'être la plus petite des deux rapports a / b et b / c. Le scalenity est toujours inférieur à φ et peut être faite aussi proche que désiré à φ.

Triangle dont les côtés forment une progression géométrique

Si les longueurs des côtés d'un triangle forme une progression géométrique et sont dans le rapport 1: r: r ^2, où r est le rapport commun, alors R doit être comprise dans l'intervalle φ-1 <r <φ, ce qui est une conséquence de la inégalité triangulaire (la somme de tous les deux côtés d'un triangle doit être strictement plus grande que la longueur du troisième côté). Si r = φ alors les deux parties sont plus courtes 1 et φ, mais leur somme est φ ^2, ainsi r <φ. Un calcul similaire montre que r> φ-1. Un triangle dont les côtés sont dans un rapport de 1: √φ: φ est un triangle rectangle (parce que 1 + φ = φ ²⁾ connu en tant que Kepler triangle.

Triangle d'or, losange, et losange triacontaèdre

Un des losanges du triacontaèdre rhombique

Tous les visages de la triacontaèdre losange sont des losanges dorés

Un losange or est un losange dont les diagonales sont dans le rapport d'or. Le triacontaèdre est un losange polytope convexe qui possède une propriété très spéciale: toutes ses faces sont des losanges d'or. Dans le losange triacontaèdre la dièdre entre deux losanges adjacente est de 144 °, ce qui est deux fois l'angle isocèle d'un triangle d'or et quatre fois son angle le plus aigu.

Relation à la séquence de Fibonacci

Les mathématiques du nombre d'or et de la suite de Fibonacci sont intimement liés. La suite de Fibonacci est:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ....

Le Solution de forme fermée (connue sous le nom La formule de Binet, même si elle était déjà connue par Abraham de Moivre) pour la séquence de Fibonacci implique le nombre d'or:

$F \ left (n \ right) = {{\ varphi ^ N- (1- \ varphi) ^ n} \ over {\ sqrt 5}} = {{\ varphi ^ n - (- \ varphi) ^ {- n }} \ over {\ sqrt 5}}.$

Une spirale de Fibonacci qui se rapproche de la spirale d'or, en utilisant la place de la séquence de Fibonacci tailles jusqu'à 34.

Le nombre d'or est le limite des ratios de mandats successifs de la suite de Fibonacci (ou ne importe quelle séquence de Fibonacci comme), comme indiqué à l'origine par Kepler :

$\ N \ {lim_ à \ infty} \ frac {F (n + 1)} {F (n)} = \ varphi.$

Par conséquent, si un nombre de Fibonacci est divisée par son prédécesseur immédiat dans la séquence, le quotient se rapproche φ; par exemple, 987/610 ≈ 1,6180327868852. Ces approximations sont alternativement inférieur et supérieur à φ, et convergent sur φ que le nombre augmente de Fibonacci, et:

$\ Sum_ {n = 1} ^ {\ infty} | F (n) \ varphi-F (n + 1) | = \ varphi.$

Plus généralement:

$\ Lim_ {n \ to \ infty} \ frac {F (n + a)} {F (n)} = {\ varphi} ^ a,$

où ci-dessus, les ratios de mandats consécutifs de la suite de Fibonacci, est un cas où $a = 1$ .

En outre, les puissances successives de φ obéissent à la Fibonacci récurrence:

$\ Varphi ^ {n + 1} = \ varphi ^ n + \ varphi ^ {n-1}.$

Cette identité permet à ne importe quel polynôme φ à être réduite à une expression linéaire. Par exemple:

$\ Begin {align} 3 \ varphi ^ 3-5 \ varphi ^ 2 + 4 = 3 & (\ varphi ^ 2 + \ varphi) - 5 \ varphi ^ 2 + 4 = \\ & 3 [(\ varphi + 1) + \ varphi] - 5 (\ varphi + 1) + 4 = \\ & \ varphi + 2 \ environ 3,618. \ End {align}$

Cependant, ce ne est pas de propriété particulière de φ, parce que toute solution polynômes en x pour une équation quadratique peut être réduit d'une manière analogue, en appliquant:

$x ^ 2 = ax + b$

pour les coefficients donnés un , b de telle sorte que x satisfait à l'équation. Même plus généralement, toute fonction rationnelle (à coefficients rationnels) de la racine d'une irréductible n e-polynôme de degré sur les rationnels peut être réduite à un polynôme de degré n - 1. Formulé en termes de théorie des champs, si α est une racine d'une irréductible n e-polynôme de degré, alors $\Q(\alpha)$ est de degré n plus $\Q$ , avec base $\{1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}\}$ .

Symétries

Le nombre d'or et le ratio or inverse $\varphi_\pm = (1\pm \sqrt{5})/2$ ont un ensemble de symétries qui préservent et interrelation entre eux. Ils sont tous deux conservés par les transformations linéaires fractionnaires $x, 1/(1-x), (x-1)/x,$ - ce fait correspond à l'identité et à la définition équation quadratique. En outre, ils sont échangés par les trois cartes $1/x, 1-x, x/(x-1)$ - ils sont inverses, symétriques par rapport à $1/2$ , et (projectivement) symétrique par rapport à deux.

Plus profondément, ces cartes forment un sous-groupe dugroupe modulaire $\operatorname{PSL}(2,\mathbf{Z})$ isomorphe augroupe symétrique sur 3 lettres, $S_3,$ correspondant à lastabilisation de l'ensemble $\{0,1,\infty\}$ de 3 points standard sur ladroite projective, et les symétries correspondent à la carte de quotient $S_3 \to S_2$ - le sous-groupe $C_3 < S_3$ constitué de les 3 et cycles et de l'identité $() (0 1 \infty) (0 \infty 1)$ fixe les deux chiffres, tandis que les 2-cycles échangent entre eux, réalisant ainsi la carte.

Autres propriétés

Le nombre d'or a le plus simple expression (et plus lente convergence) comme un développement en fraction continue de tout nombre irrationnel (voir formes alternatives ci-dessus). Il est, pour cette raison, l'un des pires cas de rapprochement le théorème de Lagrange et il est un cas extrémal de l' inégalité Hurwitz pour approximations diophantiennes. Cela peut être la raison pour laquelle les angles proche du ratio or montrent souvent dans phyllotaxie (la croissance des plantes).

Le polynôme quadratique définition et la relation conjugué plomb en valeurs décimales qui ont leur partie fractionnaire en commun avec φ:

$\varphi^2 = \varphi + 1 = 2.618\dots$

${1 \over \varphi} = \varphi - 1 = 0.618\dots.$

La séquence des pouvoirs de φ contient ces valeurs 0.618 ..., 1.0, ... 1.618, 2.618 ...; plus généralement, toute la puissance de φ est égal à la somme des deux puissances précédant immédiatement:

$\varphi^n = \varphi^{n-1} + \varphi^{n-2} = \varphi \cdot \operatorname{F}_n + \operatorname{F}_{n-1}.$

En conséquence, on peut facilement se décomposer toute puissance de φ en un multiple de φ et une constante. Le multiple et la constante sont toujours des nombres de Fibonacci adjacentes. Cela conduit à une autre propriété des puissances positives de φ:

Si $\lfloor n/2 - 1 \rfloor = m$ , Puis:

$\!\ \varphi^n = \varphi^{n-1} + \varphi^{n-3} + \cdots + \varphi^{n-1-2m} + \varphi^{n-2-2m}$

$\!\ \varphi^n - \varphi^{n-1} = \varphi^{n-2} .$

Lorsque le nombre d'or est utilisé comme base d'unsystème numérique(voirla base du rapport d'or, parfois surnomméphinaryouφ-naire), tout entier a une représentation de terminaison, en dépit φ étant irrationnel, mais chaque fraction a une représentation non-terminaison.

Le nombre d'or est uneunité fondamentale ducorps de nombres algébriques $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ et est unnombre de Pisot-Vijayaraghavan. Sur le terrain $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ nous avons $\varphi^n = {{L_n + F_n \sqrt{5}} \over 2}$ Où $L_n$ est le $n$ ièmenombre Lucas.

Le nombre d'or figure également à lagéométrie hyperbolique, comme la distance maximale entre un point situé sur un côté d'untriangle idéal à la plus proche des deux autres côtés: cette distance, la longueur du côté dutriangle équilatéral formé par les points de tangence d'un cercle inscrit dans le triangle idéal, est de 4 ln φ.

Développement décimal

Développement décimal du rapport d'or peut être calculé directement à partir de l'expression

$\varphi = {1+\sqrt{5} \over 2},$

avec √5 ≈ 2,2360679774997896964. Le racine carrée de 5 peut être calculé avec laméthode de Babylone, à commencer par une estimation initiale telle quexφ = 2 etitération

$x_{n+1} = \frac{(x_n + 5/x_n)}{2}$

pourn= 1, 2, 3, ..., jusqu'à ce que la différence entrex_netx _n-1devient égale à zéro, pour le nombre désiré de chiffres.

L'algorithme de Babylone pour √5 est équivalente à la méthode de Newton pour résoudre l'équation x ² - 5 = 0. Dans sa forme la plus générale, la méthode de Newton peut être appliqué directement à une équation algébrique, y compris l'équation x ² - x - 1 = 0 qui définit le nombre d'or. Cela donne une itération qui converge vers le nombre d'or lui-même,

$x_{n+1} = \frac{x_n^2 + 1}{2x_n - 1},$

pour une première estimation appropriéxφ tel quex= φ 1. Procédé légèrement plus rapide consiste à réécrire l'équationx- 1 - 1 /x= 0, auquel cas l'itération de Newton devient

$x_{n+1} = \frac{x_n^2 + 2x_n}{x_n^2 + 1}.$

Ces itérations tous convergent quadratique; qui est, chaque étape double à peu près le nombre de chiffres corrects. Le nombre d'or est donc relativement facile de calculer avec précision arbitraire. Le temps nécessaire pour calculer n chiffres du nombre d'or est proportionnelle au temps nécessaire pour diviser deux n nombres à chiffres. Ceci est considérablement plus rapide que les algorithmes connus pour les nombres transcendants π et e .

Une alternative facile à programmer en utilisant uniquement arithmétique entière est de calculer deux grands nombres de Fibonacci consécutifs et les diviser. Le ratio de Fibonacci numéros F ₂₅₀₀₁ et F ₂₅₀₀₀ , chaque plus de 5000 chiffres, les rendements de plus de 10.000 chiffres significatifs de la proportion dorée.

Le nombre d'or φ a été calculé avec une précision de plusieurs millions de chiffres décimaux (séquence A001622 dans OEIS ). Alexis Irlande effectué les calculs et la vérification des 17000000000 premiers chiffres.

Pyramides

Une pyramide carré régulier est déterminé par son triangle médial, dont les bords sont la apothème de la pyramide (a), semi-base (b), et la hauteur (h); l'angle d'inclinaison visage est aussi marqué. Proportions mathématiques b: h: un de $1:\sqrt{\varphi}:\varphi$ et $3:4:5\$ et $1:4/\pi:1.61899\$ sont d'un intérêt particulier par rapport aux pyramides égyptiennes.

Les deux pyramides égyptiennes et les mathématiques régulierspyramides carrées qui leur ressemblent peuvent être analysés par rapport au nombre d'or et d'autres ratios.

Pyramides et triangles mathématiques

Une pyramide dans laquelle le apothème (hauteur oblique le long de la bissectrice d'un visage) est égal à φ fois la semi-base (la largeur de base de la moitié) est parfois appelé une pyramide d'or . Le triangle isocèle qui est le visage d'une telle pyramide peut être construite à partir des deux moitiés d'un rectangle d'or diagonale diviser (de taille semi-base en apothème), reliant les bords de longueur moyenne pour faire le apothème. La hauteur de cette pyramide est $\sqrt{\varphi}$ fois la semi-base (qui est, la pente de la face est $\sqrt{\varphi}$ ); le carré de la taille est égale à la surface d'un visage, φ fois le carré de la semi-base.

La médianetriangle de la pyramide "d'or" (voir schéma), avec des côtés $1:\sqrt{\varphi}:\varphi$ est intéressant dans son propre droit, démontrant par lethéorème de Pythagorela relation $\sqrt{\varphi} = \sqrt{\varphi^2 - 1}$ ou $\varphi = \sqrt{1 + \varphi}$ . Cette " Kepler triangle "est la seule proportion de triangle avec des longueurs de pointe enprogression géométrique, tout comme le 3-4-5 triangle est la seule partie de triangle rectangle avec des longueurs de bord enprogression arithmétique. L'angle de tangente $\sqrt{\varphi}$ correspond à l'angle que du côté de la pyramide fait par rapport à la masse, ... 51,827 degrés (51 ° 49 ' 38 ").

Une forme de pyramide à peu près semblable, mais avec des proportions raisonnables, est décrite dans le Papyrus Mathématique Rhind (la source d'une grande partie de la connaissance moderne de l'antique égyptienne mathématiques), sur la base du 3: 4: 5 triangle; la pente de face correspondant à l'angle avec la tangente 4/3 est 53,13 degrés (53 degrés et 8 minutes). La hauteur de la pente ou apothème est 5/3 ou 1.666 ... fois la semi-base. Le papyrus Rhind a un autre problème de la pyramide ainsi, encore une fois avec une pente rationnelle (exprimé en terme de trop lever). Mathématiques égyptiennes ne comprennent pas la notion des nombres irrationnels, et la pente inverse rationnelle (run / hausse, multiplié par un facteur de 7 à convertir leurs unités conventionnelles de palmiers par coudée) a été utilisé dans la construction des pyramides.

Un autre pyramide mathématique avec des proportions à peu près identiques à la "golden" un est celui qui périmètre égal à 2π fois la hauteur, ou h: b = 4: π. Ce triangle a un angle de face de 51,854 ° (51 ° 51 '), très proche de la 51,827 ° de la Kepler triangle. relation Cette pyramide correspond à la relation fortuite $\sqrt{\varphi} \approx 4/\pi$ .

Pyramides égyptiennes très proches en proportion de ces pyramides mathématiques sont connus.

Pyramides égyptiennes

Dans le milieu du XIXe siècle, Röber étudié diverses pyramides égyptiennes, y compris Khéphren, Mykérinos et certains de Gizeh, Saqqarah, et les groupes Abousir, et a été interprété comme disant que la moitié de la base du côté de la pyramide est le moyen milieu du côté , formant ce que d'autres auteurs identifiés comme triangle Kepler; beaucoup d'autres théories mathématiques de la forme des pyramides ont également été explorées.

Une pyramide égyptienne est remarquablement proche d'une «pyramide d'or" -la Grande Pyramide de Gizeh (aussi connu comme la pyramide de Khéops ou Khufu). Sa pente de 51 ° 52 'est très proche de la pyramide "or" inclinaison de 51 ° 50' et la pyramide inclinaison base de π-de 51 ° 51 '; autres pyramides de Gizeh (Khéphren, 52 ° 20 ', et Mykérinos, 50 ° 47') sont également tout près. Que la relation au nombre d'or dans ces pyramides est de par leur conception ou par accident reste ouvert à la spéculation. Plusieurs autres pyramides égyptiennes sont très proches au rationnel 3: 4: 5 forme.

Ajout de carburant à la controverse sur la paternité architecturale de la Grande Pyramide,Eric Temple Bell, mathématicien et historien, a affirmé en 1950 que les mathématiques égyptiennes auraient pas appuyé la possibilité de calculer la hauteur de la pente des pyramides, ou le rapport à la hauteur, à l'exception dans le cas de la 3: 4: 5 pyramide, depuis le 3: 4: 5 triangle était le seul triangle connue des Egyptiens et ils ne savaient pas le théorème de Pythagore, ni aucune façon de raisonner sur irrationnels tels que π ou φ .

Michael Rice, affirme que les autorités principales sur l'histoire de l'architecture égyptienne ont fait valoir que les Egyptiens connaissaient bien le nombre d'or et qu'il fait partie des mathématiques des Pyramides, citant Giedon (1957). Les historiens de la science ont toujours débattu pour savoir si les Égyptiens avaient des connaissances ou pas, soutenant plutôt que son apparition dans un bâtiment égyptien est le fruit du hasard.

En 1859, l' pyramidologist John Taylor a affirmé que, dans la Grande Pyramide de Gizeh , le nombre d'or est représenté par le rapport de la longueur de la face (la hauteur de la pente), inclinée à un angle θ à la terre, à la moitié de la longueur du côté de la base carrée, équivalente à la sécante de l'angle θ. Les deux longueurs supérieures étaient d'environ 186,4 et 115,2 mètres respectivement. Le rapport de ces longueurs est le nombre d'or, précis à plus de chiffres que l'une des mesures originales. De même, Howard Vyse, selon Matila Ghyka, a rapporté la grande hauteur de la pyramide 148,2 m, et la demi-base de 116,4 m, ce qui donne 1.6189 pour le rapport de hauteur inclinée à demi-base, encore plus précis que la variabilité des données.

Observations contestées

Exemples d'observations litigieuses de la proportion dorée sont les suivants:

L'historien John Homme stipule que les pages de la Bible de Gutenberg ont été "basées sur la forme de la section d'or". Toutefois, selon les propres mesures de l'homme, le rapport de hauteur à largeur est de 1,45.
Certaines proportions spécifiques dans les corps de nombreux animaux (y compris les humains) et des parties de coquilles de mollusques et céphalopodes sont souvent prétendu être dans le nombre d'or. Il ya une grande variation dans les mesures réelles de ces éléments dans des individus spécifiques, cependant, et la proportion en question est souvent très différente de la proportion dorée. Le ratio des os phalanges successives des chiffres et l'os métacarpien a été dit de rapprocher le nombre d'or. Le nautile, la construction de ce qui se déroule dans une spirale logarithmique, est souvent cité, généralement avec l'idée que toute spirale logarithmique est lié à le nombre d'or, mais parfois avec l'affirmation selon laquelle chaque nouvelle chambre est proportionné par le nombre d'or par rapport à la précédente; Toutefois, les mesures de coquilles de nautilus ne supportent pas cette prétention.
Les proportions des différents composants de l'installation (nombre de feuilles à branches, des diamètres de figures géométriques à l'intérieur des fleurs) sont souvent réclamés pour montrer le rapport proportion d'or dans plusieurs espèces. Dans la pratique, il existe des variations importantes entre les individus, les variations saisonnières et des variations d'âge de ces espèces. Bien que le nombre d'or peut être trouvée dans des proportions chez certaines personnes à des moments particuliers dans leur cycle de vie, il n'y a pas de rapport constant dans leurs proportions.
En investissant, certains praticiens de l'analyse technique utilisent le nombre d'or pour indiquer le soutien d'un niveau de prix, ou de la résistance aux augmentations de prix, d'un stock ou d'une marchandise; après prix significative change haut ou le bas, de nouveaux supports et résistances sont censément trouvé à ou près de prix liés au prix de départ par le nombre d'or. L'utilisation du nombre d'or dans l'investissement est également liée à des modèles plus compliqués décrits par les nombres de Fibonacci (par exemple principe de l'onde d'Elliott et de retracement de Fibonacci). Cependant, d'autres analystes du marché ont publié des analyses suggérant que ces pourcentages et les modèles ne sont pas étayées par les données.

Récupéré à partir de " http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Golden_ratio&oldid=549840115 "