Racine carrée

Renseignements généraux

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En mathématiques , une racine carrée (√) d'un nombre x est un nombre r tel que r ² = x, ou dans des mots, un nombre r dont carré (le résultat de la multiplication du nombre par lui-même) est x. Chaque non-négative nombre réel x a une racine carrée positive unique, appelée la racine carrée principale et notée avec un symbole radical √ x. Par exemple, la principale racine carrée de 9 est 3, notée √ 9 = 3, parce 3 ² = 3 x 3 = 9.

Racines carrées surgissent souvent lors de la résolution des équations du second degré , ou équations de la forme ax ² + bx + c = 0, en raison de la variable x étant carré.

Chaque nombre x positive a deux racines carrées. L'un d'eux est √ x, qui est positif, et les autres -√ x, ce qui est négatif. Ensemble, ces deux racines sont notées ± √ x. Racines carrées de nombres négatifs peuvent être discutées dans le cadre de nombres complexes . Racines carrées d'objets autres que des chiffres peuvent également être définis.

Racines carrées des nombres entiers qui ne sont pas carrés parfaits sont toujours des nombres irrationnels : les numéros ne est pas exprimable comme un rapport de deux nombres entiers. Par exemple, √ 2 ne peut pas être écrit exactement comme m / n, où n et m sont des nombres entiers. Néanmoins, ce est exactement la longueur de la diagonale d'un carré dont les côtés mesurent 1. Cela a été connu depuis l'Antiquité, avec la découverte que √ 2 est irrationnelle attribué à Hipparque, un disciple de Pythagore . (Voir racine carrée de 2 des preuves de l'irrationalité de ce numéro.)

Propriétés

Le graphe de la fonction f (x) = √ x, constitué d'une moitié avec une parabole verticale directrice.

La principale fonction de la racine carrée f (x) = x √ (habituellement appelée la "fonction de la racine carrée") est une fonction qui associe la ensemble de non-négative nombres réels R ⁺ ∪ {0} sur lui-même, et, comme toutes les fonctions, renvoie toujours une valeur unique. La fonction de la racine carrée mappe également des nombres rationnels dans nombres algébriques (un sur-ensemble des nombres rationnels); √ x est rationnel si et seulement si x est un nombre rationnel qui peut être représenté comme un rapport de deux carrés parfaits. Dans géométriques termes, la fonction de la racine carrée mappe la zone d'un carré à sa longueur de côté.

Pour tous les nombres réels x,

$\ Sqrt {x ^ 2} = \ left | x \ right | = \ begin {} x cas, et \ mbox {if} x \ ge 0 \\ -x, & \ mbox {if} x \ le 0 \ end {} cas$ (Voir valeur absolue )

Pour tous les non-négatifs nombres réels x et y,

$\ Sqrt {xy} = \ sqrt x \ sqrt y$

$\ Sqrt x = x ^ {1/2}.$

La fonction de la racine carrée est continue pour tout x non-négatifs et différentiable pour tout x positifs. Son dérivé est donnée par

$f '(x) = \ frac {1} {2 \ sqrt x}.$

La série de Taylor de √ 1 + x sur x = 0 converge pour | x | <1 et est donnée par

$\ Sqrt {x} + 1 = 1 + \ frac {1} {2} x - \ frac {1} {8} x ^ 2 + \ frac {1} {16} x ^ 3 - \ frac {5} { 128} x ^ 4 + \ dots \!$

Calcul

Beaucoup de méthodes de calcul des racines carrées existent aujourd'hui, certains destinés à être fait à la main et certains destiné à être fait par la machine.

Beaucoup, mais pas tous les calculatrices de poche ont une clé de la racine carrée. Ordinateur tableurs et autres logiciels sont aussi fréquemment utilisé pour calculer des racines carrées. programmes de logiciels informatiques à mettre en œuvre généralement bonnes routines pour calculer la fonction exponentielle et logarithme naturel ou logarithme , puis calculer la racine carrée de x en utilisant l'identité

$\ Sqrt {x} = e ^ {\ frac {1} {2} \ ln x}$ ou $\ Sqrt {x} = 10 ^ {\ frac {1} {2} \ log x}$

La même identité est exploitée lors du calcul des racines carrées avec tables de logarithmes ou règles à calcul.

La méthode la plus commune de calcul de la racine carrée à la main est connu comme le " . Méthode babylonienne "Il se agit d'un algorithme simple, qui se traduit par un certain nombre de plus près à la racine carrée réelle chaque fois qu'il est répété Pour trouver r, la racine carrée d'un nombre réel x.:

Commencez avec une valeur r de départ positif arbitraire (la plus proche de la racine carrée de x, mieux ce est).
Remplacer r par la moyenne entre r et x / r. (Il suffit de prendre une valeur approximative de la moyenne, pas trop proche de la valeur précédente de r et x / r afin de garantir convergence).
Répétez l'étape 2 jusqu'à ce que r et x / r sont aussi proche que désiré.

Les plus connus complexité en temps de calcul d'une racine carrée de n chiffres de précision est la même que pour la multiplication de deux nombres à chiffres n.

Racines carrées de nombres négatifs et complexes

Racine carrée complexe

Deuxième feuilles de la racine carrée complexe

Utilisation de la surface de Riemann de la racine carrée, on peut voir comment les deux feuilles se imbriquent

Le carré d'un nombre positif ou négatif est positif, et le carré de 0 est 0. Par conséquent, aucun numéro négative pouvez avoir une vraie racine carrée. Cependant, il est possible de travailler avec un plus grand ensemble de nombres, appelé les nombres complexes , qui contient des solutions à la racine carrée d'un nombre négatif. Ceci est réalisé par l'introduction d'un nouveau numéro, noté i (j parfois, en particulier dans le contexte de électricité) et appelée unité imaginaire , qui est définie de telle sorte que i ² = -1. En utilisant cette notation, nous pouvons penser i comme la racine carrée de -1, mais remarquerez que nous avons également (- i) ² = i ² = -1 et ainsi de - i est aussi une racine carrée de -1. De même que pour les nombres réels, nous disons que la principale racine carrée de -1 est i, ou plus généralement, si x est un nombre positif, alors la principale racine carrée de - x est

$\ Sqrt {-x} = i \ sqrt x$

parce que

$(I \ sqrt x) ^ 2 = i ^ 2 (\ sqrt x) ^ 2 = (-1) x = -x.$

Par l'argument donné ci-dessus, je peux être ni positif ni négatif. Cela crée un problème: pour le nombre complexe z, nous ne pouvons pas définir √ z être la racine carrée "positive" de z.

Pour chaque nombre complexe non nul z il existe exactement deux numéros w tel que w ² = z. Par exemple, la racine carrée de i sont les suivants:

$\ Sqrt {i} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (1 + i)$

$- \ Sqrt {i} = - \ frac {1} {\ sqrt {2}} (1 + i).$

La définition habituelle de √ z est en introduisant la suivante Branch Cut: si z = r e ^{i φ} est représenté en coordonnées polaires avec -π <φ ≤ π, puis nous avons mis le principale valeur à

$\ Sqrt {z} = \ sqrt {r} \, e ^ {i \ phi \ over 2}.$

Ainsi définie, la fonction de la racine carrée est holomorphe partout sauf sur les nombres réels non-positifs (où il ne est même pas continu). La série ci-dessus Taylor pour √ 1 + x reste valable pour nombres complexes x avec | x | <1.

Lorsque le nombre est en forme rectangulaire de la formule suivante peut être utilisé pour la valeur du principal:

$\ Sqrt {x + iy} = \ sqrt {\ frac {r + x} {2}} + i \ frac {y} {\ sqrt {2 (r + x)}}$

où

$r = | x + iy | = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}$

est la valeur absolue ou module du nombre complexe, à moins que x = - r et y = 0. Remarquez que le signe de la partie imaginaire de la racine est la même que le signe de la partie imaginaire du nombre initial. La partie réelle de la valeur principale est toujours non négative.

Notez qu'en raison de la nature discontinue de la fonction de la racine carrée dans le plan complexe, la loi ZW = √ √ √ z w est pas vrai en général. (Équivalente, le problème se produit à cause de la liberté dans le choix de la branche La branche choisie peut ou peut ne pas donner l'égalité;. En fait, le choix de la branche pour la racine carrée ne doit pas contenir la valeur du √ √ z w du tout , conduisant à l'échec de l'égalité. Un problème similaire apparaît avec le . logarithme complexe et le journal de relation z + w = log log (ZW)) en supposant à tort cette loi sous-tend plusieurs «preuves» défectueux, par exemple la suivante montrant que -1 = 1:

$-1 = I \ cdot i = \ sqrt {-1} \ cdot \ sqrt {-1} = \ sqrt {-1 \ cdot -1} = \ sqrt {1} = 1$

Le troisième l'égalité ne peut être justifiée (voir la preuve valide), cependant, il peut être réglé pour être vrai si nous (1) la liberté de permis dans le choix de la branche ne exigeant plus la racine carrée principale (défini dans le début de l'article) implicite dans la notation √ et (2 ) choisir la branche de la racine carrée de manière à exclure la valeur 1. Le côté gauche devient soit

$\ Sqrt {-1} \ cdot \ sqrt {-1} = i \ cdot i = -1$

si la branche comprend + i ou

$\ Sqrt {-1} \ cdot \ sqrt {-1} = (- i) \ cdot (-i) = - 1$

si la branche comprend - i, tandis que le côté droit devient

$\ Sqrt {-1 \ cdot -1} = \ sqrt {1} = 1,$

nouveau par le choix de la branche.

Racines carrées des matrices et des opérateurs

Si A est un matrice définie positive ou l'exploitant, alors il existe justement une matrice définie positive ou l'exploitant B avec B ² = A; nous définissons alors √ A = B.

Plus généralement, à tous matrice normale ou opérateur A il existe opérateurs B normale telle que B ² = A. En général, il existe plusieurs de ces opérateurs B pour chaque A et la fonction de la racine carrée ne peuvent pas être définis pour les opérateurs normaux de manière satisfaisante. Opérateurs définies positives se apparentent à des nombres réels positifs, et les opérateurs normales se apparentent à des nombres complexes.

Racines carrées principales des 20 premiers entiers positifs

Comme fractions décimales non périodiques

$\ Sqrt {1}$	$= \,$	1
$\ Sqrt {2}$	$\ Approx$	1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
$\ Sqrt {3}$	$\ Approx$	1,7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
$\ Sqrt {4}$	$= \,$	2
$\ Sqrt {5}$	$\ Approx$	2,2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
$\ Sqrt {6}$	$\ Approx$	2,4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
$\ Sqrt {7}$	$\ Approx$	2,6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
$\ Sqrt {8}$	$\ Approx$	2,8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
$\ Sqrt {9}$	$= \,$	3
$\ Sqrt {10}$	$\ Approx$	3,1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
$\ Sqrt {11}$	$\ Approx$	3,3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
$\ Sqrt {12}$	$\ Approx$	3,4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
$\ Sqrt {13}$	$\ Approx$	3,6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
$\ Sqrt {14}$	$\ Approx$	3,7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
$\ Sqrt {15}$	$\ Approx$	3,8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
$\ Sqrt {16}$	$= \,$	4
$\ Sqrt {17}$	$\ Approx$	4,1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
$\ Sqrt {18}$	$\ Approx$	4,2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
$\ Sqrt {19}$	$\ Approx$	4,3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
$\ Sqrt {20}$	$\ Approx$	4,4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276

Comme fractions continues périodiques

Un des résultats les plus intéressants de l'étude des nombres irrationnels que les fractions continues a été obtenu par Joseph Louis Lagrange vers 1780. Lagrange a constaté que la racine carrée d'un nombre entier positif non-carré peut être représenté par un périodique fraction continue. Autrement dit, dans lequel un certain motif de chiffres se produit à plusieurs reprises dans les dénominateurs (voir exemple ci-après). Dans un sens, ces racines carrées sont les plus simples nombres irrationnels, car ils peuvent être représentés avec un motif répétitif simple des chiffres.

$\ Sqrt {2}$	$= \,$	[1; 2, 2, ...]
$\ Sqrt {3}$	$= \,$	[1; 1, 2, 1, 2, ...]
$\ Sqrt {4}$	$= \,$
$\ Sqrt {5}$	$= \,$	[2; 4, 4, ...]
$\ Sqrt {6}$	$= \,$	[2; 2, 4, 2, 4, ...]
$\ Sqrt {7}$	$= \,$	[2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...]
$\ Sqrt {8}$	$= \,$	[2; 1, 4, 1, 4, ...]
$\ Sqrt {9}$	$= \,$
$\ Sqrt {10}$	$= \,$	[3; 6, 6, ...]
$\ Sqrt {11}$	$= \,$	[3; 3, 6, 3, 6, ...]
$\ Sqrt {12}$	$= \,$	[3; 2, 6, 2, 6, ...]
$\ Sqrt {13}$	$= \,$	[3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, ...]
$\ Sqrt {14}$	$= \,$	[3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, ...]
$\ Sqrt {15}$	$= \,$	[3; 1, 6, 1, 6, ...]
$\ Sqrt {16}$	$= \,$
$\ Sqrt {17}$	$= \,$	[4; 8, 8, ...]
$\ Sqrt {18}$	$= \,$	[4; 4, 8, 4, 8, ...]
$\ Sqrt {19}$	$= \,$	[4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, ...]
$\ Sqrt {20}$	$= \,$	[4; 2, 8, 2, 8, ...]

La notation de crochet utilisé ci-dessus est une sorte de raccourci mathématique pour conserver l'espace. Écrit en plus la notation traditionnelle simple fraction continue pour la racine carrée de 11 - [3; 3, 6, 3, 6, ...] - ressemble à ceci:

$\ Sqrt {11} = 3 + \ cfrac {1} {3 + \ cfrac {1} {6 + \ cfrac {1} {3 + \ cfrac {1} {6 + \ cfrac {1} {\ ddots}} }}} \,$

où le motif à deux chiffres {3, 6} répète encore et encore et encore dans les dénominateurs partiels.

Construction géométrique de la racine carrée

Une racine carrée peut être construit avec une règle et au compas. Dans ses Éléments , Euclide (fl. 300 BC) a donné la construction du moyenne géométrique des deux quantités en deux endroits différents: Proposition II.14 et Proposition VI.13. Depuis la moyenne géométrique des a et b est √ ab, on peut construire un √ simplement en prenant b = 1.

La construction est également donnée par Descartes dans son La Géométrie, voir figure 2, Cette page 2. Toutefois, Descartes fait aucune réclamation à l'originalité et son public aurait été assez familier avec Euclide.

Une autre méthode de construction géométrique utilise bonnes triangles et induction: √ 1 peut, bien sûr, être construit, et une fois √ x a été construit, le droit triangle avec 1 et √ x pour ses jambes a une hypoténuse de √ x + 1.

Histoire

Le Papyrus Mathématique Rhind est une copie de 1650 BC d'une œuvre encore plus tôt et nous montre comment les Egyptiens extrait des racines carrées.

Dans l'Inde ancienne , la connaissance des aspects théoriques et appliqués de la racine carrée et le carré était au moins aussi vieux que le Sulba soutras, daté autour de 800-500 BC (peut-être beaucoup plus tôt). Procédé pour trouver très bonnes approximations à la racine carrée de 2 et 3 sont donnés dans le Baudhayana Sulba Sutra. Aryabhata dans le Aryabhatiya (section 2.4), a donné une méthode pour trouver la racine carrée de nombres ayant de nombreux chiffres.

DE Smith dans l'histoire des mathématiques, dit, à propos de la situation actuelle en Europe: "En Europe, ces méthodes (pour trouver le carré et la racine carrée) ne apparaîtra pas avant Cataneo (1546). Il a donné la méthode de Aryabhata pour déterminer la racine carrée ".

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