Valeur absolue

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En mathématiques , la valeur absolue (ou module qui est latine pour une petite mesure) d'un nombre réel est sa valeur numérique sans égard à son signe . Ainsi, par exemple, la figure 3 est la valeur absolue de 3 fois et -3. Dans la programmation informatique , la fonction mathématique utilisée pour effectuer ce calcul est habituellement donné le nom abs ().

Généralisations de la valeur absolue de nombres réels se produisent dans une grande variété de paramètres mathématiques. Par exemple une valeur absolue est également définie pour les nombres complexes , la quaternions, cycles commandés, les champs et les espaces vectoriels . La valeur absolue est étroitement lié aux notions de amplitude, la distance , et norme dans différents contextes physiques et mathématiques.

Le graphe de la fonction de valeur absolue pour les nombres réels.

Nombres réels

Pour tout nombre réel la valeur absolue d'un module ou d'un est désigné par | a |, et est définie comme

$| a | = \ begin {} un cas, et \ mbox {} si un \ ge 0 \\ -a, & \ mbox {} si un <0. \ end {} cas$

Comme on peut le voir d'après la définition ci-dessus, la valeur absolue de a est toujours soit positive ou nulle , mais jamais négative .

D'un point de vue géométrique, la valeur absolue d'un nombre réel est la distance le long de la véritable ligne de numéro de ce nombre de zéro, et, plus généralement, la valeur absolue de la différence de deux nombres réels est la distance entre eux. En effet, la notion d'un résumé fonction de distance en mathématiques peut être considérée comme une généralisation de la valeur absolue de la différence (voir «Distance» ci-dessous).

La proposition suivante, donne une identité qui est parfois utilisé comme une alternative (et équivalent) définition de la valeur absolue:

Proposition 1:

$| A | = \ sqrt {a ^ 2}$

La valeur absolue a les quatre propriétés fondamentales suivantes:

Proposition 2:

$\| A \| \ ge 0$	Non-négativité
$\| A \| = 0 \ ssi a = 0$	Positive-netteté
$\| Ab \| = \| a \|\| b \| \,$	Multiplicativeness
$\| A + b \| \ le \| a \| + \| B \|$	Sous-additivité

D'autres propriétés importantes de la valeur absolue comprennent:

Proposition 3:

$\| -a \| = \| A \| \,$	Symétrie
$\| A - b \| = 0 \ ssi a = b$	Identité des indiscernables (équivalent à positive netteté)
$\| A - b \| \ le \| a - c \| + \| c - b \|$	l'inégalité de Triangle (équivalent à la sous-additivité)
$\| A / b \| = \| a \| / \| b \| \ mbox {(si b} \ ne 0) \,$	Préservation de la division (équivalent à multiplicativeness)
$\| A-b \| \ ge \|\| a \| - \| b \|\|$	(Équivalent à la sous-additivité)

Deux autres inégalités sont utiles:

$| A | \ le b \ ssi -b \ le un \ le b$

$| A | \ ge b \ ssi a \ le -b \ mbox {} ou b \ le un$

Le ci-dessus sont souvent utilisés dans la résolution des inégalités; par exemple:

$\| X-3 \| \ le 9$	$\ Ssi -9 \ le x-3 \ le 9$
	$\ Ssi -6 \ le x \ le 12$

Les nombres complexes

La valeur absolue d'un nombre complexe z est la distance r de z à l'origine. Il est également considéré que l'image en z et z ont la même valeur absolue.

Étant donné que les nombres complexes ne sont pas ordonné, la définition donnée ci-dessus pour la valeur absolue réelle ne peut pas être directement généralisée pour un nombre complexe. Cependant l'identité donnée dans la Proposition 1:

$| A | = \ sqrt {a ^ 2}$

peut être considéré comme la motivation la définition suivante.

Pour tout nombre complexe

$z = x + iy, \,$

où x et y sont des nombres réels, la valeur absolue ou module de z est notée | z |, et est définie comme

$| Z | = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}.$

Il se ensuit que la valeur absolue d'un nombre réel x est égal à sa valeur absolue considéré comme un nombre complexe puisque:

$| X + i0 | = \ sqrt {x ^ 2 + 0 ^ 2} = \ sqrt {x ^ 2} = | x |.$

Comme pour l'interprétation géométrique de la valeur absolue pour les nombres réels, il résulte de ce qui théorème de Pythagore que la valeur absolue d'un nombre complexe est la distance dans le plan complexe de ce nombre complexe de la origine, et plus généralement, que la valeur absolue de la différence de deux nombres complexes est égale à la distance entre ces deux nombres complexes.

Les actions de valeur absolue complexes toutes les propriétés de la valeur absolue réelle donnés dans les propositions 2 et 3 ci-dessus. En outre, si

$z = x + i y = r (\ cos \ phi + i \ sin \ phi) \,$

$\ overline {z} = x - iy$

est le conjuguée complexe de z, il est alors facile de voir que

$\ Begin {align} | z | = r &, \\ | z | = & | \ overline {z} | \ end {align}$

$| Z | = \ sqrt {z \ overline {z}},$

avec la dernière formule étant l'analogue complexe de la proposition 1 mentionné ci-dessus dans le cas réel.

Depuis les réels positifs forment un sous-groupe des nombres complexes sous la multiplication, nous pouvons penser de la valeur absolue comme un endomorphisme de la groupe multiplicatif des nombres complexes.

Fonctions valeur absolue

La fonction réelle de valeur absolue est continue partout. Il est différentiable partout sauf pour x = 0. Il est monotone décroissante sur l'intervalle (-∞, 0] et monotone croissante sur l'intervalle [0, ∞). Depuis un nombre réel et son négatif ont la même valeur absolue, ce est un même fonctionner, et ne est donc pas inversible.

Le complexe fonction de valeur absolue est continue partout, mais (complexe) dérivable nulle part (Une façon de voir ce est de montrer qu'il ne obéit pas à la Cauchy-Riemann équations).

Les deux fonctions sont réels et complexes idempotent.

C'est un fonction non linéaire.

Anneaux commandés

La définition de la valeur absolue donnée pour les nombres réels ci-dessus peut facilement être étendu à tout anneau commandé. Autrement dit, si a est un élément d'un anneau R ordonné, la valeur absolue d'une, notée | a |, est définie comme étant:

$| A | = \ begin {} un cas, et \ mbox {} si un \ ge 0 \\ -a, & \ mbox {if} a <0, \ end {} cas$

où - a est la inverse additif d'un, et l'additif est 0 élément d'identité.

Distance

La valeur absolue est étroitement liée à la notion de distance. Comme indiqué plus haut, la valeur absolue d'un nombre réel ou complexe est la la distance à partir de ce nombre à l'origine, sur la ligne de nombre réel, pour les nombres réels, ou dans le plan complexe, pour des nombres complexes, et plus généralement, la valeur absolue de la différence de deux nombres réels ou complexes est la distance entre eux.

Le standard La distance euclidienne entre les deux points

$a = (a_1, a_2, \ cdots, a_n)$

$b = (b_1, b_2, \ cdots, b_n)$

dans euclidienne -space n est défini comme:

$\ Sqrt {(a_1-b_1) ^ 2 + (a_2-b_2) ^ 2 + \ cdots + (a_n-b_n) ^ 2}.$

Cela peut être considéré comme une généralisation de | a - b |, car si a et b sont réels, puis par la proposition 1,

$| A - b | = \ sqrt {(a - b) ^ 2}$

tandis que si

$a = a_1 + i A_2 \,$

$b = b_1 + i b_2 \,$

sont des nombres complexes, puis

$\| A - b \| \,$	$= \| (A_1 + i A_2) - (+ i b_1 B_2) \| \,$
	$= \| (A_1 - b_1) + i (a_2 - b_2) \| \,$
	$= \ Sqrt {(a_1 - b_1) ^ 2 + (a_2 - b_2) ^ 2}$

Ce qui précède montre que la distance "valeur absolue" pour les nombres réels ou des nombres complexes, d'accord avec la distance euclidienne norme héritent du fait de les considérer comme l'une et espaces euclidiens bidimensionnelles respectivement.

Les propriétés de la valeur absolue de la différence de deux nombres réels ou complexes: non-négativité, l'identité des indiscernables, la symétrie et l'inégalité de triangle donné dans les propositions 2 et 3 ci-dessus, peuvent être vus à motiver la notion plus générale d'un fonction de distance de la manière suivante:

Une fonction réelle d sur un ensemble X × X est appelée une fonction de distance (ou une métrique) sur X, si elle remplit les quatre axiomes suivants:

$d (a, b) \ ge 0$	Non-négativité
$d (a, b) = 0 \ ssi a = b$	Identité des indiscernables
$d (a, b) = D (B, A) \,$	Symétrie
$d (a, b) \ le d (a, c) + d (c, b)$	Triangle inégalités

Dérivés

Le dérivé de la fonction réelle absolue de valeur est le fonction signum, sgn (x), qui est définie comme

$\ Sgn (x) = \ frac {x} {| x |},$

pour x ≠ 0. La fonction valeur absolue ne est pas différentiable en x = 0. Lorsque la fonction valeur absolue d'un nombre réel renvoie une valeur sans respect à son signe, la fonction de signe renvoie le signe d'un nombre sans rapport à sa valeur. Par conséquent, x = sgn (x) abs (x). La fonction signe est une forme de la Fonction de Heaviside utilisé dans le traitement de signal, définie comme suit:

$u (x) = \ begin {cas} 0, et x <0 \\ \ frac {1} {2}, & x = 0 \\ 1, et x> 0, \ end {} cas$

où la valeur de la fonction de Heaviside à zéro est classique. Donc, pour tous les points non nuls sur le ligne réelle de nombre,

$u (x) = \ frac {\ sgn (x) 1} {2}. \,$

La fonction valeur absolue n'a pas de concavité à tout moment, la fonction signe est constante à tous les points. Par conséquent, la dérivée seconde de | x | par rapport à x est nul partout sauf zéro, où elle ne est pas définie.

La fonction valeur absolue est également intégrable. Son primitive est

$\ Int | x | dx = \ frac {x | x |} {2} + C.$

Les champs

Les propriétés fondamentales de la valeur absolue de nombres réels donnés dans la proposition 2 ci-dessus, peuvent être utilisés pour généraliser la notion de valeur absolue à un champ arbitraire, comme suit.

Une fonction v de valeur réelle sur un champ F est appelé valeur absolue (également un module, l'ampleur, la valeur, ou l'évaluation) se il satisfait aux quatre axiomes suivants:

$v (a) \ ge 0$	Non-négativité
$v (a) = 0 \ ssi a = \ mathbf {0}$	Positive-netteté
$v (ab) = v (a) v (b) \,$	Multiplicativeness
$v (a + b) \ le v (a) + v (b)$	Sous-additivité ou l'inégalité du triangle

Où 0 représente l'additif élément ayant une identité de F. Il résulte de caractère défini positif et multiplicativeness que v (1) = 1, où 1 désigne l'élément neutre multiplicatif F. Les valeurs absolues réelles et complexes définis ci-dessus sont des exemples de valeurs absolues pour un champ arbitraire.

Si v est une valeur absolue sur F, alors la fonction d de F × F, définie par d (a, b) v = (a - b), est une métrique et les suivantes sont équivalentes:

d satisfait les inégalité ultramétrique d (x, y) <max {d (x, z), d (y, z)}.

$\ Big \ {c \ Big ({\ textstyle \ sum_ {k = 1} ^ n} \ mathbf {1} \ Big): n \ in \ mathbb {N} \ big \}$ est bornée dans R.

$v \ Big ({\ textstyle \ sum_ {k = 1} ^ n} \ mathbf {1} \ Big) \ le 1 \ text {} pour chaque n \ in \ mathbb {N}.$

$v (a) \ le 1 \ Rightarrow v (1 + a) \ le 1 \ text {} pour tous a \ in F.$

$v (a + b) \ le \ mathrm {max} \ {v (a), v (b) \} \ text {} pour tous a, b \ in F.$

Une valeur absolue qui satisfait tout (d'où la totalité) des conditions ci-dessus est dite non-Archimède, sinon il est dit Archimède.

Espaces vectoriels

Encore une fois les propriétés fondamentales de la valeur absolue de nombres réels peuvent être utilisés, avec une légère modification, de généraliser la notion d'un espace vectoriel arbitraire.

Une fonction réelle || · || sur un espace vectoriel V sur un champ F, est appelé une valeur absolue (ou plus généralement une norme) se il satisfait aux axiomes suivants:

Pour toutes dans un F, et v, u en V,

$\ \| \ Mathbf {v} \ \| \ ge 0$	Non-négativité
$\ \| \ Mathbf {v} \ \| = 0 \ ssi \ mathbf {v} = 0$	Positive-netteté
$\ \| A \ mathbf {v} \ \| = \| a \| \ \| \ mathbf {v} \ \|$	Homogénéité positive ou évolutivité positif
$\ \| \ Mathbf {v} + \ mathbf {u} \ \| \ le \ \| \ mathbf {v} \ \| + \ \| \ mathbf {u} \ \|$	Sous-additivité ou inégalité triangulaire

La norme d'un vecteur est aussi appelé sa longueur ou l'ampleur.

Dans le cas de l'espace euclidien R ^n, la fonction définie par

$\ | (X_1, x_2, \ cdots, x_n) \ | = \ sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ {n} (x_i) ^ 2}$

est une norme appelée Norme euclidienne. Lorsque le nombre réel R sont considérés comme l'espace unidimensionnel vecteur R ¹ , la valeur absolue est un norme, et est le p -norme pour tout p. En fait, la valeur absolue est la norme "seulement" sur R ^1, dans le sens où, pour chaque norme || · || sur R ^1, || x || = || 1 || · | x |. La valeur absolue complexe est un cas particulier de la norme dans un espace intérieur du produit. Elle est identique à la norme euclidienne, si le plan complexe est identifié avec le plan euclidien R ^2.

Algorithmes

Dans le langage de programmation C , l' abs() , labs() , llabs() (en C99), fabs() , fabsf() , et fabsl() fonctions calculent la valeur absolue d'un opérande. Codage la version entière de la fonction est trivial, ignorant le cas limite où le plus grand entier négatif est entrée:

 int abs (int i)
 {
     si (i <0)
         retourner -i;
     autre
         retourner i;
 }

Le versions à virgule flottante sont plus délicat, car ils doivent composer avec des codes spéciaux pour et infinis not-a-number.

La fonction de la valeur absolue Fortran, Matlab, et GNU Octave est abs . Il gère entier, réel ainsi que des nombres complexes.

Utilisation langage d'assemblage, il est possible de prendre la valeur absolue d'une inscrivez-vous en seulement trois instructions (par exemple indiqués pour un registre 32 bits sur un l'architecture x86, Intel syntaxe):

 cdq
 xor eax, edx
 eax sous, edx

cdq étend le bit de signe eax dans edx . Si eax est positive, alors edx devient nul, et les deux dernières instructions ne ont pas effet, en laissant eax inchangé. Si eax est négative, alors edx devient 0xFFFFFFFF, ou -1. Les deux instructions suivantes deviennent alors une complément à l'inversion de deux, ce qui donne la valeur absolue de la valeur négative dans eax .

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$\| A - b \| \,$	$= \| (A_1 + i A_2) - (+ i b_1 B_2) \| \,$
	$= \| (A_1 - b_1) + i (a_2 - b_2) \| \,$
	$= \ Sqrt {(a_1 - b_1) ^ 2 + (a_2 - b_2) ^ 2}$