La géométrie euclidienne

Une représentation de Euclid partir L'École d'Athènes par Raphael .

La géométrie euclidienne est un système mathématique attribué au Grecque mathématicien Euclide de Alexandria . Le texte d'Euclide Elements est la discussion systématique plus ancienne connue de la géométrie . Il a été l'un des livres les plus influents de l'histoire, tant par sa méthode que pour son contenu mathématique. La méthode consiste en supposant un petit ensemble de attrayant intuitivement axiomes, puis prouver beaucoup d'autres propositions ( théorèmes ) de ces axiomes. Bien que beaucoup des résultats d'Euclide a été dit par les mathématiciens grecs antérieurs, Euclide fut le premier à montrer comment ces propositions pourraient être se emboîtent dans un déductive complète et système logique.

Les éléments commencent par la géométrie plane , toujours enseigné dans l'école secondaire du premier système axiomatique et les premiers exemples de preuve formelle . Les éléments qui se passe à la la géométrie solide de trois dimensions et la géométrie euclidienne a ensuite été étendu à un nombre fini de dimensions. Une grande partie des éléments indique les résultats de ce qu'on appelle aujourd'hui la théorie des nombres , prouvé en utilisant des méthodes géométriques.

Depuis plus de deux mille ans, l'adjectif «euclidienne» était inutile car aucune autre sorte de géométrie avait été conçu. Les axiomes d'Euclide semblaient si intuitivement évident que tout théorème prouvé d'eux a été jugé vrai dans un sens absolu. Aujourd'hui, cependant, beaucoup d'autres auto-cohérent géométries non-euclidiennes sont connus, les premiers ayant été découverts au début du 19ème siècle. Il est également plus tenir pour acquis que la géométrie euclidienne décrit espace physique. Une implication de Einstein théorie »de la relativité générale est que la géométrie euclidienne est seulement une bonne approximation des propriétés de l'espace physique si le champ gravitationnel est pas trop fort.

Approche axiomatique

La géométrie euclidienne est un système axiomatique, dans lequel tous les théorèmes («vrais états») sont issus d'un nombre fini d'axiomes. Vers le début du premier livre des éléments, Euclide donne cinq postulats (axiomes):

1. Tout deux points peuvent être reliés par une ligne droite .
2. Tout segment de droite peut être prolongée indéfiniment dans une ligne droite.
3. Compte tenu de tout segment de droite, un cercle peut être tracé ayant le segment que rayon et un point d'extrémité en tant que centre.
4. Tous angle droit sont congruents.
5. Postulat des parallèles. Si deux lignes se croisent tiers de telle sorte que la somme des angles intérieurs d'un côté est inférieur à deux angles droits, alors inévitablement les deux lignes doivent se croiser les uns les autres sur le côté si étendue assez loin.

Ces axiomes invoquent les notions suivantes: le point, segment de droite et de la ligne, côté d'une ligne, cercle de rayon et le centre, à angle droit, la congruence, angles intérieurs et droite, somme. Les verbes suivants apparaissent: rejoignez, de prolonger, dessiner, se croisent. Le cercle décrit dans postulat 3 tacitement unique. Postule 3 et 5 ne détiennent que pour la géométrie plane; en trois dimensions, postulat 3 définit une sphère.

Une preuve à partir des éléments d'Euclide que, étant donné un segment de droite, un triangle équilatéral existe qui comprend le segment comme l'un de ses côtés. La preuve en est par construction: un triangle équilatéral ΑΒΓ est faite en dessinant des cercles et Δ Ε centrés sur les points Α et Β, et en prenant une intersection des cercles comme le troisième sommet du triangle.

Postulat 5 conduit à la même géométrie que la déclaration suivante, connue sous le nom L'axiome de Playfair, qui détient également que dans le plan:

Grâce à un point pas sur une ligne droite donnée, une et une seule ligne peut être tirée que ne rencontre jamais la ligne donnée.

Postule 1, 2, 3, et 5 affirment l'existence et l'unicité de certaines figures géométriques, et ces affirmations sont de nature constructive: ce est, nous ne sommes pas seulement dit que certaines choses existent, mais sont également donnés méthodes pour les créer avec pas plus d'une boussole et d'une règle non marqué . En ce sens, la géométrie euclidienne est plus concret que de nombreux systèmes axiomatiques modernes tels que la théorie des ensembles , qui affirment souvent l'existence des objets sans dire comment les construire, ou même affirmer l'existence des objets qui ne peuvent être construites dans la théorie.

Strictement parlant, les constructions de lignes sur le papier etc sont modèles des objets définis dans le système formel, plutôt que des instances de ces objets. Par exemple une ligne droite euclidienne n'a pas la largeur, mais ne importe quelle ligne réelle sera tiré.

Ces éléments comprennent également les cinq «notions communes» suivants:

1. Les choses qui égalent la même chose aussi égale une autre.
2. Si égaux sont ajoutés à des égaux, alors les ensembles sont égaux.
3. Si égaux sont soustraites des égaux, alors les restes sont égaux.
4. Les choses qui coïncident avec une autre égale une autre.
5. Le tout est plus grand que la partie.

Euclide a également invoqué d'autres propriétés relatives à magnitudes. 1 est la seule partie de la logique sous-jacente qui Euclid explicitement articulé. 2 et 3 sont des principes "arithmétiques"; noter que les significations de "ajouter" et "soustraire" dans ce contexte purement géométrique sont considérés comme donnés. 1 à 4 définie opérationnellement l'égalité, qui peut également être pris dans le cadre de la logique sous-jacente ou comme une relation d'équivalence exigeant, comme "coïncide," définition préalable prudent. 5 est un principe de méréologie. , "Partie" "Tout" et "reste" mendier pour des définitions précises.

Au 19e siècle, on a réalisé que dix axiomes d'Euclide et notions communes ne suffisent pas à prouver tout de théorèmes énoncés dans les éléments. Par exemple, Euclide suppose implicitement que ne importe quelle ligne contient au moins deux points, mais cette hypothèse ne peut être prouvé par les autres axiomes, et a donc besoin d'être un axiome lui-même. La première preuve géométrique dans les Éléments, montré dans la figure sur la droite, ce est que ne importe quel segment de ligne fait partie d'un triangle; Euclid construit ce de la manière habituelle, en dessinant des cercles autour des deux extrémités et en prenant leur intersection que la troisième vertex. Ses axiomes, cependant, ne garantissent pas que les cercles se croisent effectivement, parce qu'ils sont compatibles avec discrète, plutôt que continu, l'espace. À partir de Moritz Pasch en 1882, de nombreux systèmes axiomatiques améliorées pour la géométrie ont été proposés, les plus connus étant ceux de Hilbert, George Birkhoff, et Tarski.

Pour être juste à Euclide, la première la logique formelle capable de supporter sa géométrie était celle de Frege 1879 Begriffsschrift, peu lu jusqu'à ce que les années 1950. Nous voyons maintenant que la géométrie euclidienne doit se inscrire dans la logique du premier ordre avec identité, un système formel d'abord énoncé dans Hilbert et Wilhelm Ackermann 1928 Principes de la logique théorique. Formel méréologie débuté qu'en 1916, avec le travail de Lesniewski et AN Whitehead. Tarski et ses élèves ont fait un travail important sur la fondements de la géométrie élémentaire récemment entre 1959 et sa mort en 1983.

Le postulat des parallèles

Pour les anciens, le postulat des parallèles semblait moins évident que les autres; vérifier physiquement nous obligerait à inspecter deux lignes pour vérifier qu'ils ne ont jamais recoupé, même à un moment très lointain, et cette inspection pourrait prendre une quantité infinie de temps. Euclide lui-même semble avoir considéré comme étant qualitativement différent des autres, comme en témoigne l'organisation des éléments: les 28 premières propositions qu'il présente sont ceux qui peuvent être prouvé sans elle.

Beaucoup de géomètres essayé en vain de prouver la cinquième postulat des quatre premiers. En 1763, au moins 28 épreuves différentes avaient été publiées, mais tous ont été jugée incorrecte. En fait, le postulat des parallèles ne peut être prouvé par les quatre autres: cela a été indiqué dans le 19ème siècle par la construction de la variante ( non-euclidienne) systèmes de géométrie où les autres axiomes sont encore vrai, mais le postulat des parallèles sont remplacés par un axiome contradictoires. Un aspect distinctif de ces systèmes est que les trois angles d'un triangle ne ajoutent pas à 180 °: en géométrie hyperbolique la somme des trois angles est toujours inférieur à 180 ° et peut se approcher de zéro, tandis que dans géométrie elliptique elle est supérieure à 180 °. Si le postulat parallèle est rayé de la liste des axiomes sans remplacement, le résultat est la géométrie plus général appelé la géométrie absolue.

Traitement utilisant la géométrie analytique

Le développement de la géométrie analytique fourni une méthode alternative pour formaliser la géométrie. Dans cette approche, un point est représenté par son cartésiennes (x, y) les coordonnées, une ligne est représenté par son équation, et ainsi de suite. Au 20e siècle, cet ajustement dans David Hilbert programme de réduction de toutes les mathématiques à l'arithmétique, puis la consistance de l'arithmétique en utilisant le raisonnement finitiste. En approche originale d'Euclide, le théorème de Pythagore résulte des axiomes d'Euclide. Dans l'approche cartésienne, les axiomes sont les axiomes de l'algèbre, et l'équation exprimant le théorème de Pythagore est alors une définition de l'un des termes dans les axiomes d'Euclide, qui sont maintenant considérés comme des théorèmes. L'équation

la définition de la distance entre deux points et est alors connu sous le nom euclidienne métrique, et d'autres paramètres définissent géométries non-euclidiennes.

Comme une description de la réalité physique

Une réfutation de la géométrie euclidienne comme une description de l'espace physique. Dans un test 1919 de la théorie de la relativité générale, les étoiles (marqué avec des lignes horizontales courtes) ont été photographiés au cours d'une énergie solaire Eclipse. Les rayons de la lumière des étoiles ont été pliés par la gravité du Soleil sur le chemin de la terre. Ce est interprétée comme une preuve en faveur de la prédiction d'Einstein que la gravité aurait entraîner des déviations de la géométrie euclidienne.

Euclid croyait que ses axiomes sont des déclarations évidentes sur la réalité physique.

Cela a conduit à des difficultés philosophiques profondes à concilier l'état des connaissances de l'observation par opposition aux connaissances acquises par l'action de la pensée et de raisonnement. Une enquête majeure de cette zone a été menée par Emmanuel Kant dans La Critique de la raison pure.

Cependant, d'Einstein de la théorie de la relativité générale montre que la véritable géométrie de l'espace-temps est géométrie non-euclidienne. Par exemple, si un triangle est construit à partir de trois rayons de lumière, puis en général des angles intérieurs ne est pas égale à 180 degrés de la pesanteur. Un nombre relativement faible champ de gravitation, comme celle de la Terre ou du soleil, est représentée par une mesure qui est approximativement, mais pas exactement, euclidienne. Jusqu'au 20ème siècle, il n'y avait pas de technologie capable de détecter les écarts par rapport à la géométrie euclidienne, mais Einstein prédit que ces écarts seraient exister. Ils ont ensuite été vérifiées par des observations telles que l'observation de la légère courbure de la lumière des étoiles par le Soleil pendant une éclipse solaire en 1919, et géométrie non-euclidienne est maintenant, par exemple, fait partie intégrante du logiciel qui exécute le Système GPS. Il est possible de se opposer à l'interprétation non-euclidienne de la relativité générale au motif que les rayons lumineux peuvent être des modèles physiques inappropriées des lignes d'Euclide, ou que la relativité pourraient être reformulés de façon à éviter les interprétations géométriques. Cependant, l'une des conséquences de la théorie d'Einstein est qu'il n'y a pas de test physique possible qui peut faire mieux que un faisceau de lumière comme un modèle de la géométrie. Ainsi, les seules possibilités logiques sont à accepter géométrie non-euclidienne que physiquement réel, ou de rejeter toute la notion de tests physiques des axiomes de la géométrie, qui peuvent ensuite être imaginé comme un système formel sans aucune signification intrinsèque du monde réel.

En raison de l'incompatibilité de la modèle standard avec la relativité générale , et en raison de certaines preuves empiriques récentes contre l'ancien, les deux théories sont maintenant sous surveillance accrue, et de nombreuses théories ont été proposées pour remplacer l'ancien et, dans de nombreux cas, ce dernier comme ainsi. ( GUT sont le seul exemple des théories du modèle post-standard qui ne est pas attaqué à la relativité générale.) Les désaccords entre les deux théories proviennent de leurs créances sur l'espace-temps, et il est maintenant admis que la géométrie physique doit décrire l'espace-temps plutôt que de simplement l'espace. Alors que la géométrie euclidienne, le modèle standard et la relativité générale sont tous compatibles avec ne importe quel nombre de dimensions spatiales et une spécification à laquelle de ces cas échéant sont compacifiée (voir la théorie des cordes ), et alors que toutes les barres géométrie euclidienne (qui ne distingue pas l'espace à partir temps) insistent sur exactement une dimension temporelle, les alternatives proposées, dont aucun ne est encore partie de consensus scientifique, diffèrent significativement dans leurs prédictions ou son absence à ces détails de l'espace-temps. Les désaccords entre les théories préoccupation physique classique si l'espace-temps est euclidienne (depuis théorie quantique des champs dans le modèle standard est construit sur l'hypothèse que ce est) et qu'il se agit quantifié. Rares sont les alternatives proposées nier que l'espace-temps est quantifié, avec le quanta de longueur et de temps sont respectivement la Et la longueur de Planck Temps de Planck. Cependant, ce qui géométrie à utiliser - euclidienne, Riemann, de Stitter, anti de Stitter et quelques autres - est un important point de démarcation entre eux. Beaucoup de physiciens attendent à une certaine théorie des cordes euclidienne, à terme, devenir le Théorie du tout, mais leur point de vue ne est nullement unanime, et en tout cas l'avenir de cette question est imprévisible. En ce qui concerne la façon dont voire pas du tout la géométrie euclidienne seront impliqués dans la physique avenir, ce qui est incontestable, ce est que la définition de lignes droites sera toujours en termes de chemin dans un vide de rayonnement électromagnétique (y compris la lumière) jusqu'à ce que la gravité est expliqué avec une cohérence mathématique Conditions d'un phénomène autre que la courbure espace-temps, et que le test de postulats géométriques (euclidiennes ou autrement) se situera dans l'étude de la façon dont ces chemins sont affectés par des phénomènes. Pour l'instant, la gravité est le phénomène pertinente que connu, et son effet est incontestable (voir lentille gravitationnelle).

Sections coniques et théorie de la gravitation

Apollonius et d'autres géomètres grecs antiques ont fait une étude approfondie des sections coniques - courbes créées par l'intersection d'un cône et un plan. Les (non dégénérées) ceux qui sont les ellipse , le et la parabole hyperbole, distingué en ayant zéro, un ou deux intersections avec l'infini. Ceci se est avéré faciliter le travail de Galileo , Kepler et Newton au 17ème siècle, que ces courbes modélisées avec précision le mouvement des corps sous l'influence de la gravité. Utilisation La loi de Newton de la gravitation universelle, l'orbite d'une comète autour du soleil est

• une ellipse, si elle se déplace trop lentement pour sa position (ci-dessous échapper à la vitesse), auquel cas il finira par revenir;
• une parabole, si elle se déplace à la vitesse de libération exacte (peu probable), et ne sera jamais revenir parce que la courbe atteint à l'infini; ou
• une hyperbole, si elle se déplace assez vite (ci-dessus vitesse de libération), et de même ne reviendra jamais.

Dans chaque cas, le Soleil sera à une Objet de la conique, et le mouvement va balayer des aires égales en des temps égaux.

Galileo a expérimenté avec des objets tombant petites distances à la surface de la Terre, et empiriquement déterminé que la distance parcourue est proportionnelle au carré du temps. Compte tenu de son dispositif de chronométrage et de mesure, ce était une excellente approximation. Au cours de ces petites distances que l'accélération de la pesanteur peut être considéré comme constant, et en ignorant les effets de l'air (comme sur une plume qui tombe) et la rotation de la Terre , les une trajectoire de projectile sera une trajectoire parabolique.

Des calculs ultérieurs de ces chemins pour les corps en mouvement par gravité seraient réalisées en utilisant les techniques de la géométrie analytique (en utilisant les coordonnées et l'algèbre) et le calcul différentiel, qui fournissent des preuves directes. Bien sûr, ces techniques ne avaient pas été inventé à l'époque que Galileo étudié le mouvement de la chute des corps. Une fois il a constaté que les corps tombent à la terre avec une accélération constante (à la précision de ses méthodes), il se est avéré que les projectiles se déplacer dans une trajectoire parabolique en utilisant les procédures de la géométrie euclidienne.

De même, Newton utilisé quasi-euclidiennes preuves pour démontrer la dérivation des mouvements orbitaux de Kepler de ses lois du mouvement et de la gravitation.

Des siècles plus tard, l'une des premières mesures expérimentales pour soutenir Einstein de la théorie de la relativité générale , qui postulait un géométrie non-euclidienne de l'espace, était l'orbite de la planète Mercure . Kepler décrit l'orbite comme une ellipse parfaite. Théorie newtonienne prédit que l'influence gravitationnelle d'autres organismes donnerait une orbite plus compliqué. Mais finalement toutes ces corrections newtoniens en deçà des résultats expérimentaux; une petite perturbation est restée. Einstein a postulé que la courbure de l'espace serait précisément compte de cette perturbation.

Etat logique

La géométrie euclidienne est une théorie du premier ordre . Autrement dit, il permet états tels que ceux qui commencent comme "pour tous les triangles ...", mais il est incapable de former des états tels que "pour toutes les séries de triangles ...". Les déclarations de ce dernier type sont réputés être en dehors de la portée de la théorie.

Nous devons beaucoup de notre compréhension actuelle des propriétés de la logique et métamathématiques propriétés de la géométrie euclidienne au travail de Alfred Tarski et ses élèves, en commençant dans les années 1920. Tarski prouvé son formulation axiomatique de la géométrie euclidienne soit complète dans un certain sens: il existe un algorithme qui, pour chaque proposition, peut montrer qu'elle soit vraie ou fausse. Théorèmes d'incomplétude de Gödel a montré la futilité du programme de Hilbert de prouver la cohérence d'ensemble des mathématiques aide du raisonnement finitiste. Les conclusions de Tarski ne violent pas le théorème de Gödel, parce géométrie euclidienne ne peut pas décrire une quantité suffisante de arithmétique pour le théorème se applique.

Bien complète dans le sens formel utilisé dans la logique moderne, il ya des choses que la géométrie euclidienne ne peut accomplir. Par exemple, le problème de la trisection un angle avec une règle et au compas est celui qui se produit naturellement dans la théorie, puisque les axiomes sont des opérations constructives qui peuvent être réalisées avec ces outils. Cependant, des siècles d'efforts ont échoué à trouver une solution à ce problème, jusqu'à ce Pierre Wantzel publié une preuve en 1837 que cette construction était impossible.

La géométrie absolue, d'abord identifié par Bolyai, la géométrie euclidienne est affaibli par omission de la cinquième postulat, que les lignes parallèles ne se rencontrent pas. De force intermédiaire entre la géométrie euclidienne absolue et sont dérivées de géométries d'Euclide par des altérations du postulat des parallèles qui peut être montré d'être cohérent en présentant des modèles d'entre eux. Par exemple, la géométrie de la surface d'une sphère est un modèle de la géométrie elliptique. Un autre affaiblissement de la géométrie euclidienne est la géométrie affine, d'abord identifié par Euler , qui conserve la cinquième postulat non modifiée tout en affaiblissant postule trois et quatre dans une manière qui élimine les notions d'angle (d'où triangles rectangles deviennent de sens) et de l'égalité de longueur des segments de ligne en général (cercles d'où deviennent sens) tout en conservant les notions de parallélisme comme une relation d'équivalence entre les lignes, et l'égalité de longueur des segments de lignes parallèles (donc segments de ligne continuent d'avoir un point médian).

Théorèmes classiques

• Théorème de Ceva
• La formule de Héron
• Cercle d'Euler
• Théorème de Pythagore
• La formule de Tartaglia
• Le théorème de Ménélas
• Bissectrice théorème