Triangle

Un triangle est une base de la formes de la géométrie : un polygone avec trois coins ou sommets et trois côtés ou des bords qui sont des segments de ligne.

En géométrie euclidienne trois quelconques non points alignés déterminent un triangle unique et un cadre unique plan (ce est à dire en deux dimensions espace cartésien ).

Un triangle.

Types de triangles

Triangles peuvent être classés en fonction de la longueur relative de leurs côtés:

• Dans un triangle équilatéral, tous les côtés sont de longueur égale. Un triangle équilatéral est aussi un polygone équiangles, ce est à dire tous ses internes angles sont égaux, à savoir 60 °; c'est un polygone régulier.
• Dans un triangle isocèle, les deux côtés sont de même longueur (à l'origine et classiquement limitée à exactement deux). Un triangle isocèle a aussi deux angles égaux: les angles opposés aux deux côtés égaux.
• Dans un triangle scalène, tous les côtés ont des longueurs différentes. Les angles internes dans un triangle scalène sont tous différents.

Équilatéral	Isocèle	Scalène

Triangles peuvent également être classés en fonction de leurs angles internes, décrites ci-dessous à l'aide degrés d'arc:

• Un triangle (ou triangle rectangle, anciennement appelé un triangle rectangled) a une angle de 90 ° interne ( à angle droit ). Le côté opposé à l'angle droit est le hypoténuse; ce est le côté le plus long dans le triangle rectangle. Les deux autres côtés sont les jambes ou catheti (singulier: angle droit) du triangle.
• Un triangle oblique n'a pas angle interne égale à 90 °.
• Un triangle est un triangle obtus oblique avec une angle interne supérieur à 90 ° (un angle d'obtus ).
• Un triangle est un triangle aigu oblique par tous les angles internes plus petits que 90 ° (trois angles aigus ). Un triangle équilatéral est un triangle aiguë, mais pas tous les triangles aigus sont des triangles équilatéraux.

Droit	Obtus	Aigu
	Oblique

Données de base

Faits élémentaires sur triangles ont été présentés par Euclide dans les livres 1-4 de ses éléments autour 300 BCE. Un triangle est un polygone et un 2- simplex (voir polytope). Tous deux sont des triangles dimensionnelle.

Les angles d'un triangle se additionnent à 180 degrés. Une angle extérieur d'un triangle (un angle qui est adjacent et complémentaire à un angle interne) est toujours égale à deux angles d'un triangle qui ne est pas adjacent / complémentaire à. Comme tous de polygone convexe, les angles extérieurs d'un triangle se additionnent à 360 degrés.

La somme des longueurs de tous les deux côtés d'un triangle est toujours supérieure à la longueur du troisième côté. Ce est la inégalité triangulaire. (Dans le cas particulier de l'égalité, deux des angles se sont effondrés à la taille zéro, et le triangle a dégénéré à un segment de ligne.)

Deux triangles sont dits similaire si et seulement si les angles de celui-ci sont égaux aux angles correspondants de l'autre. Dans ce cas, les longueurs de leurs côtés correspondants sont proportionnelle. Cela se produit par exemple lorsque deux triangles part un angle et les côtés opposés à cet angle sont parallèles.

A quelques postulats et les théorèmes de base sur les triangles semblables:

• Deux triangles sont semblables si au moins deux angles correspondants sont égaux.
• Si les deux faces correspondantes de deux triangles sont en proportion, et leurs angles inclus sont égaux, les triangles sont semblables.
• Si trois côtés de deux triangles sont en proportion, les triangles sont semblables.

Pour deux triangles pour être en harmonie, chacun de leurs angles et les côtés correspondant doit être égale (6 au total). A quelques postulats et les théorèmes de base sur triangles congruents:

• SAS Postulat: Si deux côtés et les angles inclus de deux triangles sont proportionnellement égale, les deux triangles sont congruents.
• SSS Postulat: Si chaque côté de deux triangles sont égaux en conséquence, les triangles sont congruents.
• ASA Postulat: Si deux angles et les côtés inclus de deux triangles sont proportionnellement égale, les deux triangles sont congruents.
• AAS Théorème: Si deux angles et ne importe quel côté de deux triangles sont proportionnellement égale, les deux triangles sont congruents.
• Hypotenuse-Leg Théorème: Si les hypoténuses et une jambe de deux triangles rectangles sont proportionnellement égale, les triangles sont congruents.

Utilisation des triangles rectangles et la notion de similitude, l' fonctions trigonométriques sinus et cosinus peuvent être définis. Ce sont des fonctions d'un angle qui sont étudiée dans la trigonométrie .

En géométrie euclidienne, la somme des angles intérieurs d'un triangle est égal à 180 °. Ceci permet la détermination de la troisième angle d'un triangle, dès que deux angles sont connus.

Le théorème de Pythagore

Un théorème central est le théorème de Pythagore , qui indique dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de la hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Si l'hypoténuse a une longueur c, et les jambes ont des longueurs A et B, puis les Etats théorème

L'inverse est vrai: si les longueurs des côtés d'un triangle satisfont à l'équation ci-dessus, alors le triangle est un triangle rectangle.

Certains autres faits sur des triangles rectangles:

• Les angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaire.
• Si les jambes d'un triangle rectangle sont égaux, alors les angles opposés des jambes sont égales, aiguë et complémentaire, et ainsi sont à la fois 45 degrés. D'après le théorème de Pythagore, la longueur de l'hypoténuse est la racine carrée de deux fois la longueur d'une jambe.
• Dans un triangle rectangle 30 à 60, dans lequel les angles aigus mesure 30 et 60 degrés, l'hypoténuse est deux fois la longueur du côté le plus court.
• Dans tous les triangles rectangles, sur la médiane de l'hypoténuse est la moitié de l'hypoténuse.

Pour tous les triangles, les angles et les côtés sont reliés par la loi des cosinus et loi des sinus.

Points, lignes et cercles associés à un triangle

Il ya des centaines de différentes constructions qui trouvent un point spécial à l'intérieur d'un triangle, satisfaisant une certaine propriété unique: voir la section des références pour un catalogue d'entre eux. Souvent, ils sont construits en trouvant trois lignes associées de façon symétrique avec les trois côtés (ou sommets) et ensuite prouver que les trois lignes se rencontrent en un point unique: un outil important pour prouver l'existence de ceux-ci est Le théorème de Ceva, ce qui donne un critère pour déterminer quand ces trois lignes sont concurrente. De même, les lignes associées à un triangle sont souvent construits en prouvant que trois points symétriquement construits sont colinéaires: ici Théorème de Ménélaüs donne un critère général utile. Dans cette section, quelques-unes des constructions les plus couramment rencontrés sont expliqués-.

Le cercle circonscrit est le centre d'un cercle passant par les trois sommets du triangle.

Un médiatrice d'un triangle est une ligne droite passant par le point milieu d'un côté et étant perpendiculaire à elle, ce est à dire formant un angle droit avec elle. Les trois médiatrices se rencontrent en un point unique, de triangle circonscrit; ce point est le centre de la cercle circonscrit, le cercle passant par les trois sommets. Le diamètre de ce cercle peut être trouvé dans la loi des sinus indiqué ci-dessus.

Le théorème de Thales implique que si le centre du cercle circonscrit est situé sur un côté du triangle, l'angle opposé est bonne. Plus, ce est vrai: si le cercle circonscrit est situé à l'intérieur du triangle, le triangle est aiguë; si le cercle circonscrit est situé en dehors du triangle, alors le triangle est obtus.

L'intersection des courbes est le orthocentre.

Une L'altitude d'un triangle est une ligne droite passant par un sommet et perpendiculaire (ce est à dire formant un angle droit avec) du côté opposé. Ceci est appelé côté opposé de la base de l'altitude, et le point où l'altitude coupe la base (ou son prolongement) est appelée pied de l'altitude. La longueur de l'altitude est la distance entre la base et le sommet. Les trois courbes se coupent en un point unique, appelé le orthocentre du triangle. Le orthocenter se trouve à l'intérieur du triangle si et seulement si le triangle est aigu. Les trois sommets ensemble avec l'orthocentre sont dits pour former un orthocentrique système.

L'intersection des bissectrices calcule le centre de la incircle.

Une bissectrice d'un triangle est une ligne droite passant par un sommet qui coupe l'angle correspondant à la moitié. Les trois bissectrices se coupent en un seul point, la incenter, le centre du triangle de incircle. Le cercle inscrit est le cercle qui se trouve à l'intérieur du triangle et touche tous les trois côtés. Il ya trois autres cercles importants, le exinscrits; ils se trouvent à l'extérieur du triangle et touchent un côté ainsi que les prolongements des deux autres. Les centres des entrées et exinscrits forment un orthocentrique système.

Le barycentre est le centre de gravité.

Un médiane d'un triangle est une ligne droite passant par un sommet et le point médian du côté opposé et divise le triangle en deux parties égales. Les trois médianes se coupent en un point unique, le triangle de centre de gravité. Ce est aussi du triangle du centre de gravité : si le triangle ont été faite de bois, par exemple, vous pourriez en équilibre sur son centre de gravité, ou sur une ligne à travers le centre de gravité. Le centroïde chaque coupe médiane dans le rapport 2: 1, ce est à dire la distance entre un sommet et le centre de gravité est deux fois plus grande que la distance entre le centre de gravité et le point milieu du côté opposé.

Cercle d'Euler démontre une symétrie où six points se trouvent sur le bord du triangle.

Les milieux des trois côtés et les pieds des trois courbes se situent tous sur un même cercle, le triangle de Cercle d'Euler. Les trois autres points pour lesquels il est nommé sont les milieux de la partie d'altitude entre les sommets et la orthocentre. Le rayon du cercle de neuf points est la moitié de celui du cercle circonscrit. Il touche le cercle inscrit (au Point de Feuerbach) et les trois exinscrits.

La ligne d'Euler est une droite passant par le centre de gravité (orange), orthocentre (bleu), circonscrit (vert) et le centre du cercle de neuf points (rouge).

Le centre de gravité (jaune), orthocentre (bleu), circonscrit (vert) et barycentre du Cercle d'Euler (point rouge) se trouvent tous sur une seule ligne, connue sous le nom La ligne d'Euler (ligne rouge). Le centre du cercle de neuf points se situe à mi-chemin entre l'orthocentre et le cercle circonscrit, et la distance entre le centre de gravité et le cercle circonscrit est la moitié de celle entre le centre et l'orthocentre.

Le centre du cercle inscrit ne est pas en général situé sur la ligne d'Euler.

Si l'on réfléchit une médiane à la bissectrice de l'angle qui passe par le même sommet, on obtient un Symédiane. Les trois symmedians se croisent en un seul point, le Point Symédiane du triangle.

Calcul de l'aire d'un triangle

Calcul de l'aire d'un triangle est un problème rencontré fréquemment élémentaire dans de nombreuses situations différentes. La formule la plus connue et la plus simple est

où est la zone, est la longueur de la base du triangle, et est la hauteur ou l'altitude du triangle. Le terme «base» désigne ne importe quel côté, et "hauteur" désigne la longueur d'une perpendiculaire à l'opposé de la face sur la face elle-même.

Bien que simple, cette formule ne est utile que si la hauteur peut être facilement trouvé. Par exemple, l'arpenteur d'un champ triangulaire mesure la longueur de chaque côté, et peut trouver la zone de ses résultats sans avoir à construire un 'height'. Divers procédés peuvent être utilisés dans la pratique, en fonction de ce qui est connu au sujet du triangle. Ce qui suit est une sélection de formules fréquemment utilisées pour l'aire d'un triangle.

Utilisation de vecteurs

L'aire d'un parallélogramme peut être calculé en utilisant des vecteurs . Laissez vecteurs AB et AC respectivement le point de A à B et de A à C. La zone de parallélogramme ABCD est alors | AB × AC |, qui est l'ampleur du produit croisé de vecteurs AB et AC. | AB × AC | est égal à | h × AC |, où h représente l'altitude h comme vecteur.

L'aire du triangle ABC est la moitié, ou S = ½ | AB × AC |.

L'aire du triangle ABC peut également être exprimé en terme de produits scalaires comme suit:

Application de la trigonométrie pour trouver l'altitude h.

Utiliser la trigonométrie

La hauteur d'un triangle peut être trouvé par l'application de la trigonométrie . Utilisation de l'étiquetage comme dans l'image sur la gauche, l'altitude est un péché h = γ. En substituant cette dans la formule S = ½ bh dérivée ci-dessus, la surface du triangle peut être exprimée comme:

En outre, puisque le péché α = sin (π - α) = sin (β + γ), et de même pour les deux autres angles:

Utilisation de coordonnées

Si le sommet A est situé à l'origine (0, 0) d'un système de coordonnées cartésiennes et les coordonnées des deux autres sommets sont donnés par B = (x _B, y _B) et C = _(C x, y _C), puis la surface S peut être calculé comme une fois et demie la valeur absolue du déterminant

Pour les trois sommets généraux, l'équation est la suivante:

En trois dimensions, la surface d'un triangle générale {A = (x _A, y _A, z _A), B = (x _B, y _B, z _B) et C = _(C x, _C y, z _C)} est le Pythagore somme des aires des projections respectives sur les trois plans principaux (ce est à dire x = 0, y = 0 et z = 0):

En utilisant la formule de Héron

La forme du triangle est déterminée par les longueurs des côtés seulement. Par conséquent, la surface S peut également être dérivée à partir des longueurs des côtés. Par La formule de Héron:

où s = ½ (a + b + c) est le demi-périmètre, ou la moitié du périmètre du triangle.

Une façon équivalente de la rédaction de la formule de Héron est

Triangles non-planaires

Un triangle non plane est un triangle qui ne est pas contenu dans un (plat) avion. Des exemples de triangles non planes dans des géométries non-euclidienne sont triangles sphériques en géométrie sphérique et triangles hyperboliques géométrie hyperbolique.

Bien que tous régulière, deux dimensions planes (triangles) contiennent des angles qui se ajoutent à 180 °, il existe des cas dans lesquels les angles d'un triangle peut être supérieur ou inférieur à 180 °. En chiffres courbes, un triangle sur une figure à courbure négative ("selle") aura ses angles ajouter jusqu'à moins de 180 ° tandis qu'un triangle sur un chiffre courbure positive ("sphère") aura ses angles se additionnent à plus de 180 °. Ainsi, si l'on devait dessiner un triangle géant sur la surface de la Terre, on constaterait que la somme de ses angles étaient supérieures à 180 °.