Georg Cantor
Renseignements généraux
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| Georg Cantor | |
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| Né | Georg Philipp Ludwig Ferdinand Cantor Mars, 1845 Saint-Pétersbourg , Empire russe |
| Mort | 6 janvier 1918 (72 ans) Halle, Province de Saxe, Empire allemand |
| Résidence | Empire russe (1845-1856), Empire allemand (1856-1918) |
| Nationalité | Allemand |
| Les champs | Mathématiques |
| Institutions | Université de Halle |
| Alma mater | ETH Zurich, Université de Berlin |
| Conseiller de doctorat | Ernst Kummer Karl Weierstrass |
| Doctorants | Alfred Barneck |
| Connu pour | La théorie des ensembles |
Georg Philipp Ludwig Ferdinand Cantor (pron .: / k æ n t ɔr / KAN -tor; allemande: [ɡeɔʁk fɛʁdinant luːtvɪç fɪlɪp kantɔʁ]; 3 mars [ OS Février 19] 1845 - 6 Janvier, 1918) était un Allemand mathématicien , mieux connu comme l'inventeur de la théorie des ensembles , qui est devenu un théorie fondamentale en mathématiques. Cantor établi l'importance de one-to-one correspondance entre les membres de deux ensembles, défini infini et ensembles bien ordonnés, et ont prouvé que les nombres réels sont «plus nombreux» que les nombres naturels . En fait, la méthode de Cantor de la preuve de ce théorème implique l'existence d'un " débordement d'infinis ". Il a défini le cardinal et ordinal numéros et leur arithmétique. Le travail de Cantor est d'un grand intérêt philosophique, un fait dont il était bien conscient.
La théorie de Cantor de nombres transfinis a été initialement considérées comme autant de contre-intuitive - même choquante - qu'il a rencontré la résistance des contemporains mathématiques tels que Leopold Kronecker et Henri Poincaré et plus tard de Hermann Weyl et LEJ Brouwer, tandis que Ludwig Wittgenstein a soulevé objections philosophiques. Certains Théologiens chrétiens (en particulier néo-scolastiques) a vu le travail de Cantor comme un défi à l'unicité de l'infinité absolue dans la nature de Dieu - une fois assimiler la théorie des nombres transfinis avec panthéisme - une proposition qui Cantor a rejeté vigoureusement. Les objections à son travail étaient parfois féroce: Poincaré fait référence aux idées de Cantor comme une «maladie grave» infectant la discipline des mathématiques , et l'opposition publique de Kronecker et les attaques personnelles inclus décrivant Cantor comme un «charlatan scientifique», un «renégat» et un « corrupteur de la jeunesse ". Kronecker même opposé à des preuves de Cantor que les nombres algébriques sont dénombrables, et que les nombres transcendants sont innombrables, les résultats maintenant inclus dans un programme de mathématiques standard. Rédaction décennies après la mort de Cantor, Wittgenstein a déploré que les mathématiques est "monté travers et à travers avec les idiomes pernicieux de la théorie des ensembles," dont il rejeté comme "totalement absurde» qui est «risible» et «mauvais». Des épisodes récurrents de Cantor de la dépression de 1884 à la fin de sa vie ont été imputée à l'attitude hostile de beaucoup de ses contemporains, même si certains ont expliqué ces épisodes comme des manifestations d'un probables trouble bipolaire.
La critique sévère a été compensée par des accolades plus tard. En 1904, le Royal Society décerné son Cantor Médaille Sylvester, le plus grand honneur, il peut conférer des travaux en mathématiques. Il a été suggéré que Cantor croyait que sa théorie des nombres transfinis avait été communiquée par Dieu. David Hilbert a défendu de ses critiques en déclarant célèbre: «Nul ne peut nous expulser du paradis que Cantor a créé."
Vie
Jeunesse et études
Cantor est né en 1845 dans la colonie de l'Ouest en marchand de Saint-Pétersbourg , en Russie , et a grandi dans la ville jusqu'à ce qu'il avait onze ans. Georg, l'aîné de six enfants, a été considéré comme un remarquable violoniste . Son grand-père Franz Böhm (1788-1846) (le violoniste Le frère de Joseph Böhm) était le musicien bien connu et le soliste dans l'empire russe dans un orchestre impérial. Le père de Cantor avait été un membre de la Saint-Pétersbourg de bourse; quand il est tombé malade, la famille se installe en Allemagne en 1856, d'abord à Wiesbaden puis de Francfort , à la recherche des hivers plus doux que ceux de Saint-Pétersbourg. En 1860, Cantor a obtenu avec distinction à la Realschule de Darmstadt; ses compétences exceptionnelles en mathématiques, la trigonométrie en particulier, ont été notées. En 1862, Cantor est entré dans la Université de Zürich. Après avoir reçu un héritage important à la mort de son père en 1863, Cantor déplacé ses études à la Université de Berlin, assister à des conférences par Leopold Kronecker, Karl Weierstrass et Ernst Kummer. Il a passé l'été 1866 à la Université de Göttingen, alors et plus tard, un centre de recherche mathématique.
Enseignant et chercheur
En 1867, Cantor a achevé son mémoire, sur la théorie des nombres, à l'Université de Berlin. Après avoir enseigné brièvement dans une école de filles Berlin, Cantor a pris une position au Université de Halle, où il a passé toute sa carrière. Il a reçu le requise habilitation pour sa thèse, également sur la théorie des nombres, qu'il a présenté en 1869 lors de sa nomination à Halle.
En 1874, Cantor marié Vally Guttmann. Ils eurent six enfants, la dernière (Rudolph) nés en 1886. Cantor a été en mesure de soutenir une famille modeste, malgré la rémunération universitaire, grâce à son héritage de son père. Au cours de sa lune de miel dans la Montagnes du Harz, Cantor passé beaucoup de temps dans les discussions avec mathématiques Richard Dedekind, qu'il avait rencontré deux ans plus tôt tandis que sur Swiss vacances.
Cantor a été promu professeur extraordinaire en 1872 et a pleinement professeur en 1879. Pour atteindre ce dernier rang à l'âge de 34 a été une réalisation remarquable, mais Cantor voulait une président d'une université plus prestigieuse, en particulier à Berlin, à l'époque la première université allemande. Cependant, son travail a rencontré trop d'opposition pour que cela soit possible. Kronecker, qui a dirigé les mathématiques à Berlin jusqu'à sa mort en 1891, est devenu de plus en plus à l'aise avec la perspective d'avoir Cantor en tant que collègue, lui percevoir comme un «corrupteur de la jeunesse" pour enseigner ses idées à la jeune génération de mathématiciens. Pire encore, Kronecker, une figure bien établi dans la communauté mathématique et ancien professeur de Cantor, en désaccord fondamental avec la poussée des travaux de Cantor. Kronecker, désormais considéré comme l'un des fondateurs de la point de vue constructif dans les mathématiques, ne aimait pas beaucoup de la théorie des ensembles de Cantor car il a affirmé l'existence d'ensembles satisfaisant certaines propriétés, sans donner d'exemples spécifiques de groupes dont les membres ne ont en effet satisfaire à ces propriétés. Cantor est venu à croire que la position de Kronecker, il serait impossible pour lui de quitter jamais Halle.
En 1881, Halle collègue Cantor Eduard Heine est mort, la création d'une chaise vide. Halle a accepté la suggestion de Cantor qu'il soit offert à Dedekind, M. Heinrich Weber et Franz Mertens, dans cet ordre, mais chaque refusé la chaise lorsqu'il a été offert. Friedrich Wangerin a finalement été nommé, mais il n'a jamais été proche de Cantor.
En 1882, la correspondance mathématique entre Cantor et Dedekind a pris fin, apparemment en raison de la baisse de Dedekind la chaise à Halle. Cantor a également commencé une autre correspondance importante, avec Gösta Mittag-Leffler en Suède, et bientôt a commencé à publier dans le journal de Mittag-Leffler Acta Mathematica. Mais en 1885, Mittag-Leffler était préoccupé par le caractère philosophique et une nouvelle terminologie dans un document Cantor avait soumis à Acta. Il a demandé Cantor de retirer le papier du Acta alors qu'il était en preuve, écrit qu'il était «... environ cent ans trop tôt." Cantor respecté, mais restreint sa relation et la correspondance avec Mittag-Leffler, écrit à un tiers:
Eu Mittag-Leffler avait son chemin, je aurais à attendre l'année 1984, ce qui pour moi semblait trop grande demande! ... Mais bien sûr, je ne veux rien savoir de nouveau sur les Acta Mathematica.
Cantor a subi son premier combat connu de dépression en 1884. La critique de son travail pesé sur son esprit: chacun des cinquante-deux lettres qu'il écrivait à Mittag-Leffler en 1884 mentionné Kronecker. Un passage de l'une de ces lettres est révélateur de l'atteinte à la confiance en soi de Cantor:
... Je ne sais pas quand je reviendrai à la poursuite de mon travail scientifique. Pour le moment je ne peux absolument rien faire avec elle, et me limiter à le devoir le plus besoin de mes conférences; combien je serais heureux d'être à activité scientifique, si seulement je avais la fraîcheur mentale nécessaire.
Cette crise a amené à se appliquer à des conférences sur la philosophie plutôt que les mathématiques. Il a également commencé une étude intense de Élisabéthaine pensée de la littérature il pourrait y avoir des preuves que Francis Bacon a écrit les pièces attribuées à Shakespeare (voir Shakespearien question de l'auteur); Cela a finalement abouti à deux brochures, publié en 1896 et 1897.
Cantor récupéré peu après, et par la suite fait des contributions plus importantes, y compris son célèbre argument de la diagonale et théorème. Cependant, il n'a plus jamais atteint le niveau élevé de ses papiers remarquables de 1874-1884. Il a finalement demandé, et obtenu, une réconciliation avec Kronecker. Néanmoins, les désaccords et les difficultés philosophiques les divisant persisté.
En 1890, Cantor a contribué à la fondation de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung et présidé sa première réunion à Halle en 1891, où il a présenté son argument de la diagonale; sa réputation était assez forte, malgré l'opposition de Kronecker à son travail, pour se assurer qu'il a été élu le premier président de cette société. Mettant de côté l'animosité Kronecker avait affiché vers lui, Cantor a invité à prendre la parole, mais Kronecker était incapable de le faire parce que sa femme allait mourir de blessures subies dans un accident de ski à l'époque.
Ans de retard
Après 1884 hospitalisation de Cantor, il ne ya aucune trace qu'il était en tout sanatorium à nouveau jusqu'en 1899. Peu de temps après cette seconde hospitalisation, le plus jeune fils de Cantor Rudolph est décédé subitement (tout Cantor prononçait une conférence sur ses vues sur La théorie de Bacon et William Shakespeare ), et cette tragédie drainé Cantor de beaucoup de sa passion pour les mathématiques. Cantor a été de nouveau hospitalisé en 1903. Un an plus tard, il était outré et agité par un document présenté par Julius König à la troisième Congrès international des mathématiciens. Le document a tenté de prouver que les principes de base de la théorie des ensembles transfinite étaient fausses. (Konig est maintenant dans les mémoires comme ayant seulement fait remarquer que certains jeux ne peuvent pas être bien ordonné, en désaccord avec Cantor.) Depuis le papier avait été lu devant ses filles et ses collègues, Cantor lui perçu comme ayant été publiquement humiliée. Bien que Ernst Zermelo démontré moins d'une journée plus tard que la preuve de König avait échoué, Cantor restaient ébranlés, même momentanément interroger Dieu. Cantor a souffert de dépression chronique pour le reste de sa vie, pour lequel il a été dispensé de l'enseignement à plusieurs reprises et à plusieurs reprises confiné dans divers sanatoriums. Les événements de 1904 ont précédé une série d'hospitalisations à des intervalles de deux ou trois ans. Il n'a pas abandonné les mathématiques complètement, cependant, des conférences sur les paradoxes de la théorie des ensembles ( Burali-Forti paradoxe, Paradoxe de Cantor, et Le paradoxe de Russell) à une réunion de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung en 1903, et assister au Congrès international des mathématiciens à Heidelberg en 1904.
En 1911, Cantor a été l'un des chercheurs étrangers distingués invités à assister à la 500e anniversaire de la fondation de l' Université de St. Andrews en Ecosse . Cantor a assisté, en espérant rencontrer Bertrand Russell , dont récemment publiés Principia Mathematica a cité à plusieurs reprises le travail de Cantor, mais cela ne est pas venu. L'année suivante, St. Andrews a accordé un Cantor doctorat honorifique, mais la maladie ont empêché son obtention du diplôme en personne.
Cantor a pris sa retraite en 1913, vivant dans la pauvreté et souffrant de malnutrition pendant la Première Guerre mondiale . La célébration publique de son 70e anniversaire a été annulée en raison de la guerre. Il mourut le 6 Janvier 1918 à sanatorium où il avait passé la dernière année de sa vie.
Travail mathématique
Le travail de Cantor entre 1874 et 1884 est à l'origine de la théorie des ensembles . Avant ces travaux, le concept d'un ensemble était une assez élémentaire qui avait été utilisé implicitement depuis les débuts de mathématiques, datant des idées de Aristote . Personne ne avait réalisé que la théorie des ensembles avait tout contenu non triviale. Avant Cantor, il n'y avait que des ensembles finis (qui sont faciles à comprendre) et "l'infini" (qui a été considéré comme un sujet pour philosophique, plutôt que mathématique, la discussion). En prouvant qu'il ya (infiniment) plusieurs tailles possibles pour ensembles infinis, Cantor établi que la théorie des ensembles ne était pas anodine, et il doit être étudié. La théorie des ensembles est venu à jouer le rôle d'un la théorie fondamentale en mathématiques modernes, dans le sens où il interprète propositions sur les objets mathématiques (par exemple, les numéros et fonctions) de tous les domaines traditionnels des mathématiques (tels que l'algèbre , l'analyse et la topologie ) en une seule théorie, et fournit un ensemble standard d'axiomes pour prouver ou réfuter eux. Les concepts de base de la théorie des ensembles sont maintenant utilisés dans les mathématiques.
Dans un de ses premiers papiers, Cantor se est avéré que l'ensemble des nombres réels est "plus nombreux" que l'ensemble des nombres naturels ; cette montre, pour la première fois, qu'il existe des ensembles infinis de différent tailles. Il a également été le premier à apprécier l'importance de one-to-one correspondances (ci-après désignées «correspondance 1 à 1") dans la théorie des ensembles. Il a utilisé ce concept pour définir fini et ensembles infinis, subdivisant cette dernière en ensembles dénombrables (ou infini dénombrable) et ensembles innombrables (ensembles infinis non dénombrable).
Cantor a développé des concepts importants en topologie et leur relation à cardinalité. Par exemple, il a montré que le Ensemble de Cantor ne est nulle part dense, mais a le même cardinal que l'ensemble des nombres réels, alors que les rationnels sont partout dense, mais dénombrable.
Cantor introduit constructions fondamentales dans la théorie des ensembles, comme le jeu de puissance d'un ensemble A, qui est l'ensemble de tous les possibles sous-ensembles de A. Il se est avéré plus tard que la taille de l'ensemble de A de puissance est strictement supérieure à la taille de A, même si A est un ensemble infini; ce résultat est vite devenu connu comme Théorème de Cantor. Cantor a développé toute une théorie et arithmétique des ensembles infinis, appelés cardinaux et ordinaux , qui se étendaient l'arithmétique des nombres naturels. Sa notation pour les nombres cardinaux était la lettre hébraïque 
( aleph) avec un indice de nombre naturel; pour les ordinaux il employait la lettre grecque ω ( omega). Cette notation est encore en usage aujourd'hui.
Le Hypothèse du continu, introduite par Cantor, a été présenté par David Hilbert comme le premier de son vingt-trois problèmes ouverts dans son célèbre discours à la 1900 Congrès international des mathématiciens à Paris . Le travail de Cantor a également attiré l'avis favorable delà célèbre éloge de Hilbert. Le philosophe américain Charles Sanders Peirce a salué la théorie des ensembles de Cantor, et, à la suite des conférences publiques délivrées par Cantor lors du premier Congrès international des mathématiciens, tenue à Zurich en 1897, Hurwitz et Hadamard également deux exprimé leur admiration. A ce Congrès, Cantor a renouvelé son amitié et correspondance avec Dedekind. À partir de 1905, Cantor a correspondu avec son admirateur Colombie et traducteur Philippe Jourdain sur l'histoire de la théorie des ensembles et sur les idées religieuses de Cantor. Cela a été publié plus tard, tout comme plusieurs de ses œuvres informatifs.
Nombre théorie, des séries et ordinaux trigonométrique
Dix premiers articles de Cantor étaient sur la théorie des nombres , son sujet de thèse. À la suggestion de Eduard Heine, le professeur à Halle, Cantor se est tourné vers l'analyse . Heine proposé de résoudre Cantor un problème ouvert qui avait échappé Dirichlet, Lipschitz, Bernhard Riemann , et Heine lui-même: l'unicité de la représentation d'une fonction par séries trigonométriques. Cantor a résolu ce problème difficile en 1869. Ce est en travaillant sur ce problème qu'il a découvert ordinaux transfinis, qui se sont produits comme des indices n dans le n ième dérivée ensemble S n d'un ensemble S de zéros d'une série trigonométrique. Compte tenu d'une série trigonométrique f (x) avec S comme l'ensemble de ses zéros, Cantor avait découvert une procédure qui a produit une autre série trigonométrique qui avait S 1 comme jeu de zéros, où S 1 est l'ensemble des limiter points de S. Si S k + 1 est l'ensemble des points de S k limites, alors il pourrait construire une série trigonométrique dont les zéros sont S k + 1. Parce que k des ensembles ont été fermées, ils contenaient leur points de limites, et l'intersection de la suite décroissante infini d'ensembles S, S 1, S 2, S 3, ... forment un ensemble de limite, que nous appellerions aujourd'hui ω S, puis il a remarqué que S ω aurait également d'avoir un ensemble de limites points S ω + 1, et ainsi de suite. Il avait exemples qui vont à l'infini, et alors voici était une suite infinie naturelle de nombres infinis ω, ω + 1, ω + 2, ...
Entre 1870 et 1872, Cantor a publié plusieurs articles sur les séries trigonométriques, et également un document définissant les nombres irrationnels que suites convergentes de nombres rationnels . Dedekind, dont Cantor se lia d'amitié en 1872, a cité ce document plus tard cette année, dans le document où il a établi sa célèbre définition de nombres réels par Coupures de Dedekind. Tout en étendant la notion de nombre au moyen de son concept révolutionnaire de cardinal infini, Cantor était paradoxalement opposé aux théories de infinitésimales de ses contemporains Otto Stolz et Paul du Bois-Reymond, les décrivant comme à la fois «une abomination» et «un bacille du choléra des mathématiques". Cantor a également publié un «preuve» erronée de l'incompatibilité des infinitésimaux.
La théorie des ensembles
Le début de la théorie des ensembles comme une branche des mathématiques est souvent marquée par la publication de l'article 1874 de Cantor, "Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen» («sur une propriété de la collection de tous les nombres algébriques réels"). Cet article a été la première à fournir une preuve rigoureuse qu'il y avait plus d'une sorte d'infini. Auparavant, toutes les collections infinies avaient été implicitement supposé être equinumerous (ce est-à «la même taille» ou ayant le même nombre d'éléments). Cantor a prouvé que la collection de nombres réels et la collecte de positifs entiers ne sont pas equinumerous. En d'autres termes, les nombres réels ne sont pas dénombrable. Sa preuve est plus complexe que le plus élégant argument de la diagonale qu'il a donné en 1891. L'article de Cantor contient également une nouvelle méthode de construction nombres transcendants. Nombres transcendants ont d'abord été construits par Joseph Liouville en 1844.
Cantor a établi ces résultats en utilisant deux constructions. Sa première construction montre comment écrire la vraie nombres algébriques comme séquence a 1, a 2, 3, .... En d'autres termes, les nombres réels algébriques sont dénombrables. Cantor commence son deuxième construction avec ne importe quelle séquence de nombres réels. En utilisant cette séquence, il construit imbriqués dont les intervalles intersection contient pas un nombre réel dans la séquence. Étant donné que chaque séquence de nombres réels peut être utilisé pour construire un vrai pas dans la séquence, les nombres réels ne peuvent pas être écrites comme une séquence - qui est, les chiffres réels ne sont pas dénombrable. En appliquant sa construction à la séquence des nombres algébriques réels, Cantor produit un nombre transcendant. Cantor souligne que ses constructions se avèrent plus - à savoir, ils fournissent une nouvelle preuve du théorème de Liouville: Chaque intervalle contient une infinité de nombres transcendants. Prochain article de Cantor contient une construction qui prouve l'ensemble des nombres transcendants a la même «pouvoir» (voir ci-dessous) comme l'ensemble des nombres réels.
Entre 1879 et 1884, Cantor a publié une série de six articles dans Mathematische Annalen qu'ensemble formé une introduction à sa théorie des ensembles. Dans le même temps, il y avait une opposition croissante aux idées de Cantor, dirigé par Kronecker, qui a admis concepts mathématiques que se ils pourraient être construits dans un nombre fini d'étapes des nombres naturels, dont il a pris comme intuitivement donné. Pour Kronecker, la hiérarchie de Cantor d'infinis était irrecevable, puisque l'acceptation de la notion de infini actuel serait ouvrir la porte à des paradoxes qui remettrait en cause la validité des mathématiques dans son ensemble. Cantor a également présenté le Cantor réglé au cours de cette période.
Le cinquième article de cette série, "Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre" ("Les fondements d'une théorie générale de Granulats"), publié en 1883, était le plus important des six et a également été publié en tant qu'entité distincte monographie. Il contenait la réponse de Cantor à ses critiques et montré comment le nombres transfinis étaient une extension systématique des nombres naturels. Il commence par définir ensembles bien ordonnés. Les nombres ordinaux sont ensuite introduits comme les types d'ensembles bien ordonnés ordre. Cantor définit ensuite l'addition et la multiplication du cardinal et nombres ordinaux. En 1885, Cantor étendu sa théorie des types d'ordres afin que les nombres ordinaux sont devenus tout simplement un cas particulier de types d'ordres.
En 1891, il a publié un document contenant son élégante "argument de la diagonale" de l'existence d'un ensemble non dénombrable. Il a appliqué la même idée de prouver Théorème de Cantor: la cardinal de l'ensemble d'un ensemble A de puissance est strictement plus grand que le cardinal de A. Ce établi la richesse de la hiérarchie des ensembles infinis, et du cardinal et arithmétique ordinale que Cantor avait défini. Son argument est fondamental dans la solution de la Problème de l'arrêt et la preuve de Premier théorème d'incomplétude de Gödel. Cantor a écrit sur la conjecture de Goldbach en 1894.
En 1895 et 1897, Cantor a publié un document en deux parties dans Mathematische Annalen sous La rédaction de Felix Klein; ce étaient ses derniers articles importants sur la théorie des ensembles. Le premier document commence par définir ensemble, sous-ensemble , etc., d'une manière qui serait largement acceptable aujourd'hui. Le cardinal et ordinal arithmétique sont examinés. Cantor voulu le deuxième document d'inclure une preuve de l'hypothèse de continuum, mais a dû se contenter de sa théorie de expositing ensembles et les nombres ordinaux bien ordonnée. Cantor tente de montrer que si A et B sont des ensembles avec un équivalent d'un sous-ensemble de B et B correspond à un sous-ensemble de A, alors A et B sont équivalentes. Ernst Schröder avait déclaré ce théorème un peu plus tôt, mais sa démonstration, ainsi que Cantor, était erronée. Felix Bernstein fourni une preuve correcte dans sa thèse de doctorat 1898; d'où le nom Théorème de Cantor-Bernstein-Schroeder.
One-to-one correspondance
1874 papier Crelle de Cantor a été le premier à invoquer la notion de 1-to-1 correspondance, se il n'a pas utilisé cette expression. Il a ensuite commencé à la recherche d'une correspondance 1 à 1 entre les points de la carré unité et les points d'une unité segment de ligne. Dans une lettre de 1877 à Dedekind, Cantor se est avéré une bien résultat plus fort: pour tout entier positif n, il existe une correspondance une-à-une entre les points sur le segment de ligne de base et de tous les points dans un n l'espace de dimension. À propos de cette découverte Cantor célèbre écrit à Dedekind: "Je le vois, Mais je ne le Crois pas!" («Je le vois, mais je ne le crois pas!") Le résultat qu'il trouve si étonnant a des implications pour la géométrie et la notion de dimension.
En 1878, Cantor a présenté une autre papier Journal de Crelle, dans lequel il a défini précisément le concept d'une correspondance une à une, et introduit la notion de " pouvoir »(un terme qu'il a pris de Jakob Steiner) ou «l'équivalence» des ensembles: deux ensembles sont équivalente (avoir le même pouvoir) se il existe une correspondance 1 à 1 entre eux. Cantor défini ensembles dénombrables (ou ensembles dénombrables) que les jeux qui peuvent être mises en correspondance une à une avec les nombres naturels , et ont prouvé que les nombres rationnels sont dénombrable. Il a également prouvé que n de dimension espace euclidien R n a la même puissance que le nombre réel R, comme le fait un infini dénombrable produit des copies de R. Alors qu'il a fait usage libre de responsabilisation en tant que concept, il n'a pas écrit le mot "dénombrable" jusqu'en 1883. Cantor a également discuté de sa réflexion sur dimension, soulignant que son la mise en correspondance entre intervalle unité et de la place de l'unité ne était pas un une continu.
Ce document déplut Kronecker, et Cantor voulait retirer; Toutefois, Dedekind le persuada de ne pas le faire et Weierstrass soutenu sa publication. Néanmoins, Cantor jamais quoi que ce soit soumis à Crelle.
Hypothèse du continu
Cantor a été le premier à formuler ce qui plus tard est venu à être connu sous le nom hypothèse de continuum ou CH: il ne existe aucune série dont la puissance est supérieure à celle des produits naturels et inférieure à celle des réels (ou de manière équivalente, le cardinal de les réels est exactement aleph-un, plutôt que de simplement au moins aleph-un). Cantor croit l'hypothèse de continuum pour être vrai et jugé pour de nombreuses années à prouver qu'il en vain. Son incapacité à prouver l'hypothèse de continuum lui a causé beaucoup d'anxiété.
La difficulté Cantor avait à prouver l'hypothèse de continuum a été soulignée par les développements ultérieurs dans le domaine des mathématiques: un résultat 1940 par Gödel 1963 et une par une Paul Cohen implique ainsi que l'hypothèse de continuum ne peut être ni prouvée ni réfutée en utilisant la norme Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel plus le axiome du choix (la combinaison dénommé «ZFC").
Les paradoxes de la théorie des ensembles
Discussions de la théorie des ensembles paradoxes ont commencé à apparaître vers la fin du XIXe siècle. Certains de ces problèmes fondamentaux impliqués avec le programme de la théorie des ensembles de Cantor. Dans un article 1897 sur un autre sujet, Cesare Burali-Forti énoncé le premier tel paradoxe, le Burali-Forti paradoxe: nombre ordinal de l'ensemble de tous les ordinaux doit être un ordinal et cela conduit à une contradiction. Cantor a découvert ce paradoxe en 1895, et l'a décrit dans une lettre de 1896 à Hilbert . Critique monté au point où Cantor lancé des contre-arguments en 1903, destiné à défendre les principes de base de sa théorie des ensembles.
En 1899, Cantor a découvert son éponyme paradoxe: ce est le nombre de cardinal de l'ensemble de tous les ensembles? En clair, il doit être le plus grand cardinal possible. Pourtant, pour tout ensemble A, le nombre cardinal de l'ensemble des A de puissance est strictement plus grand que le nombre cardinal de A (ce fait est maintenant connu comme Théorème de Cantor). Ce paradoxe, avec Burali-Forti de, conduit Cantor de formuler un concept appelé limitation de la taille, selon laquelle la collecte de tous les ordinaux, ou de tous les ensembles, était une "multiplicité inconsistante" qui était "trop grand" comme un ensemble. Ces collections a appelé plus tard les classes appropriées.
Une vision commune parmi les mathématiciens est que ces paradoxes, avec Le paradoxe de Russell, démontrer qu'il ne est pas possible de prendre un «naïf» ou non axiomatique, approche de la théorie des ensembles sans risquer la contradiction, et il est certain qu'ils étaient parmi les motivations pour Zermelo et d'autres pour produire axiomatisations de la théorie des ensembles. D'autres font remarquer, cependant, que les paradoxes ne obtiennent pas dans une vue informelle motivée par le hiérarchie itérative, qui peut être considéré comme expliquant l'idée de limitation de taille. Certains se demandent également si la La formulation de frégéen la théorie des ensembles naïve (qui était le système directement réfutée par le paradoxe Russell) est vraiment une interprétation fidèle de la conception cantorienne.
Philosophie, la religion, et les mathématiques de Cantor
Le concept de l'existence d'un infini actuel était une préoccupation partagée importante dans les domaines des mathématiques, la philosophie et la religion. Préserver le orthodoxie de la relation entre Dieu et les mathématiques, mais pas dans la même forme que tenu par ses détracteurs, fut longtemps un souci du Cantor. Il se est adressé directement à cette intersection entre ces disciplines dans l'introduction à son Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, où il a souligné le lien entre sa vision de l'infini et le philosophique. Pour Cantor, ses vues mathématiques ont été intrinsèquement liés à leurs implications philosophiques et théologiques - il a identifié la Infini Absolu avec Dieu , et qu'il considérait comme son travail sur les nombres transfinis avoir été communiquées directement par Dieu, qui avait choisi Cantor de les révéler au monde.
Débat parmi les mathématiciens né de points de vue opposés dans le philosophie des mathématiques concernant la nature de l'infini actuel. Certains tenu à l'idée que l'infini est une abstraction qui ne était pas mathématiquement légitime, et a nié son existence. Mathématiciens de trois grandes écoles de pensée ( constructivisme et ses deux rejetons, intuitionnisme et finitisme) opposé aux théories de Cantor dans cette affaire. Pour constructivistes tels que Kronecker, ce rejet de l'infini actuel découle de désaccord fondamental avec l'idée que preuves non constructive tels que Argument de la diagonale de Cantor sont une preuve suffisante que quelque chose existe, tenant la place que preuves constructives sont nécessaires. Intuitionism rejette également l'idée que l'infini actuel est l'expression d'une sorte de réalité, mais arriver à la décision par une autre voie que le constructivisme. Tout d'abord, l'argument de Cantor repose sur la logique de prouver l'existence de nombres transfinis comme une entité mathématique réelle, alors que intuitionnistes soutiennent que les entités mathématiques ne peuvent être réduits à des propositions logiques, originaires place dans les intuitions de l'esprit. Deuxièmement, la notion de l'infini comme une expression de la réalité elle-même est rejeté dans l'intuitionnisme, car l'esprit humain ne peut pas construire intuitivement un ensemble infini. Mathematicians tels que Brouwer et surtout Poincaré a adopté un intuitionniste position contre le travail de Cantor. Citant les paradoxes de la théorie des ensembles comme un exemple de sa nature fondamentalement vicié, Poincaré a jugé que "la plupart des idées de la théorie des ensembles cantorienne devrait être banni de mathématiques une fois pour toutes." Enfin, Wittgenstein attaques s 'étaient finitiste: il croyait que Argument de la diagonale de Cantor confondu la intension d'un ensemble de cardinal ou nombres réels avec son extension, confondant ainsi le concept de règles pour générer un ensemble avec un ensemble réel.
Certains théologiens chrétiens ont vu le travail de Cantor comme un défi à l'unicité de l'infinité absolue dans la nature de Dieu. En particulier, Penseurs néo-thomistes vu l'existence d'une infinité réelle qui consistait d'autre chose que Dieu compromettre "revendication d'exclusivité de Dieu à l'infini suprême». Cantor croyait fermement que ce point de vue était une mauvaise interprétation de l'infini, et a été convaincu que la théorie des ensembles pourrait aider à corriger cette erreur:
... Les espèces transfinies sont tout autant à la disposition des intentions du Créateur et Son infinie absolue seront comme le sont les nombres finis.
Cantor a également estimé que sa théorie de nombres transfinis allait à l'encontre à la fois matérialisme et déterminisme - et a été choqué quand il a réalisé qu'il était le seul membre du corps professoral à Halle qui ne détenaient pas de croyances philosophiques déterministes.
En 1888, Cantor a publié sa correspondance avec plusieurs philosophes sur les implications philosophiques de sa théorie des ensembles. Dans une tentative vaste de persuader d'autres penseurs et les autorités chrétiennes à adopter son point de vue, Cantor avait correspondu avec les philosophes chrétiens tels que Tilman et Pesch Joseph Hontheim, ainsi que des théologiens comme Cardinal Johannes Franzelin, qui, une fois répondu en assimilant la théorie des nombres de transfinies avec panthéisme. Cantor a même envoyé une lettre directement à Le pape Léon XIII lui-même, et abordé plusieurs brochures pour lui.
La philosophie de Cantor sur la nature des numéros a amené à affirmer une croyance dans la liberté des mathématiques à poser et prouver concepts en dehors de la sphère des phénomènes physiques, comme des expressions au sein d'une réalité interne. Les seules restrictions sur ce système métaphysique sont que tous les concepts mathématiques doivent être dépourvu de contradiction interne, et qu'ils suivent des définitions existantes, d'axiomes et de théorèmes. Cette croyance est résumée dans sa célèbre affirmation que "l'essence des mathématiques est sa liberté." Ces idées sont parallèles à ceux de Edmund Husserl.
Pendant ce temps, Cantor lui-même était farouchement opposé à infinitésimales, les décrivant comme à la fois une "abomination" et "le bacille du choléra des mathématiques".
1883 papier de Cantor révèle qu'il était bien conscient de l'opposition rencontraient ses idées:
... Je me rends compte que dans cette entreprise, je me mets dans une certaine opposition à des conceptions largement répandues concernant les opinions infinies et aux mathématiques fréquemment défendu sur la nature des numéros.
Ce est pourquoi il consacre beaucoup d'espace pour justifier son travail plus tôt, affirmant que les concepts mathématiques peuvent être introduits librement tant qu'ils sont exempts de contradiction et défini en termes de concepts précédemment acceptées. Il cite aussi Aristote , Descartes, Berkeley, Leibniz , et Bolzano sur l'infini.
L'ascendance de Cantor
"Très peu est connu avec certitude sur l'origine et l'éducation de George Woldemar Cantor." Grands-parents paternels de Cantor étaient de Copenhague , et ont fui vers la Russie de la désorganisation des guerres napoléoniennes . Il ya très peu d'informations directes sur ses grands-parents. Cantor a été parfois appelé juive dans sa vie, mais a également été diversement appelé russe, allemand et danois ainsi.
Jakob Cantor, le grand-père de Cantor, a donné ses enfants chrétiens noms de saints. En outre, plusieurs membres de la famille de sa grand-mère étaient dans la fonction publique tsariste, qui ne serait pas accueillir les Juifs, sauf si elles sont convertis au christianisme. Le père de Cantor, Georg Cantor Waldemar, a fait ses études dans la mission luthérienne de Saint-Pétersbourg, et de sa correspondance avec son fils montre à la fois d'eux comme luthériens dévots. Sa mère, Maria Anna Böhm, était un austro-hongrois né à Saint-Pétersbourg et baptisé catholique romaine ; elle se convertit au protestantisme au moment du mariage. Cependant, il ya une lettre du frère de Louis Cantor à leur mère, en indiquant:
Mögen wir zehnmal von Juden und ich im abstammen Princip noch für so sehr Gleichberechtigung der Hebräer sein, im Leben sind socialen mir lieber Christen ...
Dans une lettre écrite par Georg Cantor Paul Tannery en 1896 (Paul Tannery, Mémoires Scientifique 13 Correspondance, Gauthier-Villars, Paris, 1934, p. 306), Cantor affirme que ses grands-parents paternels étaient des membres de la communauté juive sépharade de Copenhague. Plus précisément, Cantor affirme dans la description de son père: "Er ist aber dans geboren Kopenhagen, von israelitischen Eltern, die der dortigen portugisischen Judengemeinde ..." ("Il est né à Copenhague des juifs (lit:" les parents israélite ») du local communauté juive portugaise. ") En outre, le grand-oncle maternel de Cantor, un violoniste hongrois Josef Böhm, a été décrit comme juive, qui peuvent impliquer que la mère de Cantor était au moins en partie descendu de la communauté juive hongroise.
Dans une lettre à Bertrand Russell, Cantor a décrit son ascendance et la perception de soi comme suit:
Ni mon père, ni ma mère étaient de sang allemand, le premier étant un Danois, porté à Copenhague, ma mère autrichienne Hungar condescendance. Vous devez savoir, Monsieur, que je ne suis pas un régulier juste Germain , car je suis né le 3 Mars 1845 à Saint Peterborough, la capitale de la Russie, mais je suis allé avec mon père et mère et ses frères et sœur, âge de onze ans dans l'année 1856 , en Allemagne.
Historiographie
Jusqu'aux années 1970, les principaux publications universitaires sur Cantor avait deux courtes monographies par Schönflies (1927) - en grande partie de la correspondance avec Mittag-Leffler - et Fraenkel (1930). Tous deux étaient en deuxième et troisième main; ni eu beaucoup sur sa vie personnelle. L'écart a été en grande partie comblé par Eric Bell Temple hommes de mathématiques (1937), dont l'un des biographes modernes de Cantor décrit comme «peut-être le livre moderne le plus lu sur l' histoire des mathématiques "; et comme «l'un des pires". De Bell présente la relation de Cantor avec son père œdipien, les différences de Cantor avec Kronecker comme une querelle entre deux Juifs, et la folie de Cantor comme le désespoir romantique sur son manque d'acceptation pour ses mathématiques, et remplit le tableau avec les stéréotypes. Grattan-Guinness (1971) a constaté qu'aucune de ces allégations étaient vraies, mais elles peuvent être trouvés dans de nombreux livres de la période intermédiaire, en raison de l'absence de tout autre récit. Il ya d'autres légendes, indépendants de Bell - dont un qui marque le père de Cantor un enfant trouvé, livré à Saint-Pétersbourg par les parents inconnus. Une critique du livre de Bell est contenu dans la biographie de Joseph Dauben.
