Intersection (théorie des ensembles)

En mathématiques , l'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble qui contient tous les éléments de A qui appartiennent également à B (ou de manière équivalente, tous les éléments de B qui appartiennent également à A), mais pas d'autres éléments.

Pour l'explication des symboles utilisés dans cet article, reportez-vous à la table des symboles mathématiques.

Définition de base

L'intersection de A et B

L'intersection de A et B est écrit "A ∩ B". Formellement:

x est un élément de A ∩ B si et seulement si

• x est un élément de A et
• x est un élément de B.

Par exemple:

• L'intersection des ensembles {1, 2, 3} et {2, 3, 4} {est 2, 3}.
• Le numéro 9 ne est pas dans l'intersection de l'ensemble des nombres premiers {2, 3, 5, 7, 11, ...} et l'ensemble des {nombres impairs 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}.

Si l'intersection de deux ensembles A et B est vide, ce est qu'ils ne ont pas d'éléments en commun, ils sont censés être disjoints, notée: A ∩ B = Ø. Par exemple, les ensembles {1, 2} et {3, 4} sont disjoints, écrits
{1, 2} ∩ {3, 4} = Ø.

Plus généralement, on peut prendre l'intersection de plusieurs ensembles à la fois. L'intersection de A, B, C et D, par exemple, est A ∩ B ∩ C ∩ D = A ∩ (B ∩ (C ∩ D)). Intersection est un associative opération; ainsi,
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.

Intersections arbitraires

La notion la plus générale est l'intersection d'une collection d'ensembles non vide arbitraire. Si M est une non vide dont les éléments sont eux-mêmes fixe, alors x est un élément de l'intersection de M si et seulement si pour chaque élément A de M, x est un élément de A. Dans symboles:

Cette idée englobe les paragraphes ci-dessus, en ce que, par exemple, A ∩ B ∩ C est l'intersection de la collection {A, B, C}.

La notation pour cette dernière notion peut varier considérablement. Réglez théoriciens seront parfois écrire "∩ M", tandis que d'autres seront plutôt écrire «∩ _{A ∈ M} A". Cette dernière notation peut être généralisée à _{"i ∈ I} ∩ A _i", qui se réfère à l'intersection de la collection {A _i: i ∈ I}. Voici I est un ensemble non vide, et A _i est un ensemble pour chaque i dans I.

Dans le cas où le ensemble d'indices I est l'ensemble des nombres naturels , vous pouvez voir la notation analogue à celle d'un série infinie:

Lorsque le formatage est difficile, cela peut également être écrit "A ₁ A ₂ ∩ ∩ ∩ A ₃ ...", même si à proprement parler, A ₁ ∩ (A ₂ ∩ (A ₃ ∩ ... n'a pas de sens. (Ce dernier exemple, une intersection de dénombrable de nombreux ensembles, est en fait très commun; pour un exemple, voir l'article sur σ-algèbres.)

Enfin, notons que chaque fois que le symbole «∩» est placé avant les autres symboles à la place de entre eux, il devrait être de plus grande taille (⋂).

Intersection nulaires

Notez que dans la section précédente, nous avons exclu le cas où M est la ensemble vide (∅). La raison en est la suivante. L'intersection de la collection M est défini comme l'ensemble (voir notation ensemble constructeur)

Si M est vide, il n'y a pas de séries A dans M, la question devient "laquelle x 's satisfaire la condition énoncée?" La réponse semble être tout x possible. Lorsque M est vide la condition donnée ci-dessus est un exemple d'un la vérité vide. Alors l'intersection de la famille devrait être vide "l'ensemble de tout". Le problème est, il n'y a pas tel ensemble. En supposant un tel ensemble existe conduit à un problème célèbre la théorie des ensembles naïve connu sous le nom Le paradoxe de Russell. Pour cette raison, l'intersection de l'ensemble vide ne est pas définie.

Un correctif partielle à ce problème peut être trouvée si nous sommes d'accord pour restreindre notre attention sur des sous-ensembles d'un ensemble fixe appelé le U univers. Dans ce cas, l'intersection d'une famille de sous-ensembles de U peut être définie comme

Maintenant, si M est vide, il ne ya aucun problème. L'intersection est juste de tout l'univers U, qui est un bien défini fixé par hypothèse.