Théorème fondamental du calcul

Renseignements généraux

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Le théorème fondamental du calcul précise la relation entre les deux opérations centrales de calcul , la différenciation et l'intégration .

La première partie du théorème, parfois appelé le premier théorème fondamental du calcul, montre qu'un l'intégration indéterminée peut être inversée par une différenciation.

La deuxième partie, parfois appelé le deuxième théorème fondamental du calcul, permet de calculer l' intégrale définie d'une fonction à l'aide de l'un de ses infinité primitives. Cette partie du théorème a des applications pratiques précieux, car il simplifie considérablement le calcul des intégrales définies.

La première déclaration publiée et la preuve d'une version restreinte du théorème fondamental était par James Gregory (1638-1675). Isaac Barrow se est avéré la première version complètement générale du théorème, tout en étudiant de Barrow Isaac Newton (1643-1727) a complété le développement de la théorie mathématique environnante. Gottfried Leibniz (1646-1716) a systématisé la connaissance dans un calcul des quantités infinitésimales.

Intuition

Intuitivement, le théorème affirme simplement que la somme de modifications infinitésimales dans une quantité au fil du temps (ou une autre quantité) se ajoutent à la variation nette de la quantité.

Pour comprendre cette déclaration, nous allons commencer avec un exemple. Supposons une particule se déplace en ligne droite avec sa position donnée par x (t) où t est le temps et x (t) signifie que x est une fonction de t. Le dérivé de cette fonction est égale à la variation en quantité infinitésimale, d x, par changement infime dans le temps, d t (bien sûr, le dérivé lui-même dépend du temps). Définissons ce changement dans la distance par changement dans le temps que la vitesse v de la particule. En Notation de Leibniz:

$\ Frac {\ mathrm dx} {\ mathrm dt} = v (t).$

Réorganisation de cette équation, il se ensuit que:

$\ Mathrm dx = v (t) \, \ mathrm dt.$

Par la logique ci-dessus, un changement de x ( $\ Delta x$ ) Est la somme des changements infinitésimaux d x. Il est également égale à la somme des produits infinitésimales du dérivé et du temps. Cette sommation infinie est l'intégration; par conséquent, l'opération d'intégration permet la récupération de la fonction d'origine à partir de son dérivé. Comme on peut raisonnablement déduire, cette opération fonctionne en sens inverse que nous pouvons différencier le résultat de notre intégrante de récupérer le dérivé d'origine.

Déclarations officielles

Il ya deux parties au théorème fondamental du calcul. Librement mis, la première partie traite de la dérivé d'un primitive, tandis que les deuxième partie traite de la relation entre primitives et intégrales définies .

Première partie

Cette partie est parfois appelée Première théorème fondamental du calcul.

Soit f une fonction numérique continue définie sur un intervalle fermé [a, b]. Soit F la fonction définie, pour tout x dans [a, b], par

$F (x) = \ ^ int_a x f (t) \, \ mathrm dt$

Puis, F est dérivable sur [a, b], et pour tout x dans [a, b],

$F '(x) = f (x) \,$ .

L'opération $\ Int_a ^ x f (t) \, \ mathrm dt$ est une intégrale définie par la limite supérieure variable et son résultat F (x) est l'un des nombreux infiniment primitives de f.

Deuxième partie

Cette partie est parfois appelée Deuxième théorème fondamental du calcul.

Soit f une fonction numérique continue définie sur un intervalle fermé [a, b]. Soit F une primitive de f, ce est l'un des infiniment nombreuses fonctions telles que, pour tout x dans [a, b],

$f (x) = F '(x) \,$ .

Puis

$\ Int_a ^ b f (x) \, \ mathrm dx = F (b) - F (a)$ .

Corollaire

Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle fermé [a, b]. Soit F une fonction telle que, pour tout x dans [a, b],

$f (x) = F '(x) \,$

Alors, pour tout x dans [a, b],

$F (x) = \ ^ int_a x f (t) \, \ mathrm dt + F (a)$

$f (x) = \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} \ int_a ^ xf (t) \, \ mathrm dt$ .

Exemples

A titre d'exemple, supposons que vous devez calculer

$\ Int_2 ^ 5 x ^ 2 \, \ mathrm dx.$

Ici, $f (x) = x ^ 2$ et nous pouvons utiliser $F (x) = {x ^ 3 \ over 3}$ que la primitive. Par conséquent:

$\ Int_2 ^ 5 x ^ 2 \, \ mathrm dx = F (5) - F (2) = {125 \ plus de 3} - {8 \ plus de 3 117} = {\ plus de 3} = 39.$

Ou, plus généralement, supposons que vous devez calculer

${\ Mathrm d \ over \ mathrm dx} \ int_0 ^ xt ^ 3 \, \ mathrm dt.$

Ici, $f (t) = t ^ 3$ et nous pouvons utiliser $F (t) = {t ^ 4 \ plus de 4}$ que la primitive. Par conséquent:

${\ Mathrm d \ over \ mathrm dx} \ int_0 ^ xt ^ 3 \, \ mathrm dt = {\ mathrm d \ over \ mathrm dx} F (x) - {\ mathrm d \ over \ mathrm dx} F (0 ) = {\ mathrm d \ over \ mathrm dx} {x ^ 4 \ plus de 4} = x ^ 3.$

Mais ce résultat aurait pu être trouvé beaucoup plus facilement que

${\ Mathrm d \ over \ mathrm dx} \ int_0 ^ xt ^ 3 \, \ mathrm dt = f (x) {\ mathrm dx \ over \ mathrm dx} - f (0) {\ mathrm d0 \ over \ mathrm dx } = x ^ 3.$

Preuve

Supposer que

$F (x) = \ int_ {a} ^ {x} f (t) \ mathrm dt.$

Soit deux nombres x ₁ et x ₁ + Δ x dans [a, b]. Donc, nous avons

$F (x 1) = \ int_ {a} ^ {} x_1 f (t) \ mathrm dt$

$F (x 1 + \ Delta x) = \ int_ {a} ^ {\ Delta x_1 + x} f (t) \ mathrm dt.$

En soustrayant les deux équations donne

$F (x 1 + \ Delta x) - F (x 1) = \ int_ {a} ^ {x 1 + \ Delta x} f (t) \ mathrm dt - \ int_ {a} ^ {} x_1 f (t) \ mathrm dt. \ Qquad (1)$

On peut montrer que

$\ Int_ {a} ^ {} x_1 f (t) \ mathrm dt + \ {int_ x_1} ^ {x 1 + \ Delta x} f (t) \ mathrm dt = \ int_ {a} ^ {x 1 + \ Delta x } f (t) \ mathrm dt.$

(La somme des aires des deux régions adjacentes est égale à la zone des deux régions combinées.)

Manipuler cette équation donne

$\ Int_ {a} ^ {x 1 + \ Delta x} f (t) \ mathrm dt - \ int_ {a} ^ {} x_1 f (t) \ mathrm dt = \ {int_ x_1} ^ {x 1 + \ Delta x } f (t) \ mathrm dt.$

La substitution de ce qui précède (1) entraîne

$F (x 1 + \ Delta x) - F (x 1) = \ int_ {} ^ {x 1 x 1 + \ Delta x} f (t) \ mathrm dt. \ Qquad (2)$

Selon le signifie théorème de la valeur d'intégration, il existe un en c [x _1, x ₁ + Δ x] tels que

$\ INT_ {} ^ {x 1 x 1 + \ Delta x} f (t) \ mathrm dt = f (c) \ Delta x$ .

La substitution de ce qui précède (2) nous obtenons

$F (x 1 + \ Delta x) - F (x 1) = f (c) \ Delta x \,$ .

Divisant les deux côtés par Δ x donne

$\ Frac {F (x 1 + \ Delta x) - F (x 1)} {\ Delta x} = f (c).$

Notez que l'expression sur le côté gauche de l'équation est Newton différence quotient F en x _1.

Prenez la limite que Δ x → 0 des deux côtés de l'équation.

$\ Lim _ {\ Delta x \ 0} \ frac {F (x 1 + \ Delta x) - F (x 1)} {\ Delta x} = \ lim _ {\ Delta x \ 0} f (c).$

L'expression sur le côté gauche de l'équation est la définition de la dérivée de F à ₁ x.

$F '(x 1) = \ lim _ {\ Delta x \ 0} f (c). \ Qquad (3)$

Pour trouver l'autre limite, nous allons utiliser la Théorème des gendarmes. Le nombre c est dans l'intervalle [x _1, x ₁ + Δ x], de sorte que x ₁ ≤ c ≤ x ₁ + Δ x.

Aussi, $\ Lim _ {\ Delta x \ 0} = x_1 x_1$ et $\ Lim _ {\ Delta x \ 0} x_1 + \ Delta x = x 1$ .

Par conséquent, d'après le théorème de compression,

$\ Lim _ {\ Delta x \ 0} c = x_1.$

Substituant dans (3), nous obtenons

$F '(x 1) = \ {lim_ c \ pour x_1} f (c).$

La fonction f est continue en c, de sorte que la limite peut être prise à l'intérieur de la fonction. Par conséquent, on obtient

$F '(x 1) = f (x 1) \,$ .

qui complète la preuve.

(Leithold et al, 1996)

Preuve alternative

Ce est une limite par la preuve Riemann résume.

Soit f continue sur l'intervalle [a, b], et soit F une primitive de f. Commencez par la quantité

$F (b) - f (a) \,$ .

Qu'il y ait des numéros

x _1, ..., x _n

tel que

$a = x_0 <x_1 <x_2 <\ ldots <x_ {n-1} <x_n = b$ .

Il se ensuit que

$F (b) - F (a) = F (xn) - F (x_0) \,$ .

Maintenant, nous ajoutons chaque F (x _i) avec son inverse additif, de sorte que la quantité résultante est égale:

$\ Begin {matrix} F (b) - F (a) & = & F (xn) \, + \, [- F (x_ {n-1}) \, + \, F (x_ {n-1} )] \, + \, \ ldots \, + \, [- F (x 1) + F (x 1)] \, - \, F (x_0) \, \\ & = & [F (xn) \, - \, F (x_ {n-1})] \, + \, [F (x_ {n-1}) \, + \, \ ldots \, - \, F (x 1)] \, + \, [ F (x 1) \, - \, F (x_0)] \, \ end {matrix}$

La quantité ci-dessus peut être écrite comme la somme suivante:

$F (b) - F (a) = \ sum_ {i = 1} ^ n [F (x_i) - F (x_ {i-1})] \ qquad (1)$

Ensuite, nous allons utiliser le valeur moyenne théorème. En résumé,

Soit F continue sur l'intervalle fermé [a, b] et dérivable sur l'intervalle ouvert (a, b). Ensuite, il existe un c dans (a, b) de telle sorte que

$F '(c) = \ frac {F (b) - f (a)} {b - a}.$

Il se ensuit que

$F '(c) (b - a) = F (b) - f (a). \,$

La fonction F est dérivable sur l'intervalle [a, b]; par conséquent, il est également différentiable et continue sur chaque intervalle x _{i -1.} Par conséquent, selon le théorème de la valeur moyenne (ci-dessus),

$F (x_i) - F (x_ {i-1}) = F '(c_i) (x_i - x_ {i-1}). \,$

La substitution de ce qui précède (1), on obtient

$F (b) - F (a) = \ sum_ {i = 1} ^ n [F '(c_i) (x_i - x_ {i-1})].$

L'hypothèse implique $F '(c_i) = f (c_i).$ Aussi, $x_i - x_ {i-1}$ peut être exprimée comme $\ Delta x$ de la partition $Je$ .

$F (b) - F (a) = \ sum_ {i = 1} ^ n [f (c_i) (\ Delta x_i)] \ qquad (2)$

Une séquence de Riemann résume convergent. Les numéros en haut à droite sont les aires des rectangles gris. Ils convergent à l'intégrale de la fonction.

Notez que nous décrivons l'aire d'un rectangle, avec les temps de largeur la hauteur, et nous ajoutons les régions ensemble. Chaque rectangle, en vertu de la Valeur moyenne théorème, décrit une approximation de la section de la courbe est tirée par dessus. Notez également que $\ Delta x_i$ n'a pas besoin d'être le même pour toute valeur de $Je$ Ou en d'autres termes que la largeur des rectangles peuvent différer. Ce que nous avons à faire est de rapprocher la courbe avec $n$ rectangles. Maintenant, comme la taille des partitions obtenir plus petits et n augmente, résultant en plusieurs partitions pour couvrir l'espace, nous allons nous rapprocher et plus proche de la superficie réelle de la courbe.

En prenant la limite de l'expression comme la norme des partitions se rapproche de zéro, nous arrivons à la Intégrale de Riemann. Ce est, nous prenons la limite comme le plus grand des partitions tend vers zéro dans la taille, de sorte que toutes les autres partitions sont plus petits et le nombre de partitions tend vers l'infini.

Ainsi, on prend la limite des deux côtés de (2). Cela nous donne

$\ Lim _ {\ | \ Delta \ | \ 0} F (b) - F (a) = \ lim _ {\ | \ Delta \ | \ 0} \ sum_ {i = 1} ^ n [f (c_i) (\ Delta x_i)] \ ,.$

Ni F (b) ni F (a) dépend || Δ ||, de sorte que la limite sur le côté gauche reste F (b) - f (a).

$F (b) - F (a) = \ lim _ {\ | \ Delta \ | \ 0} \ sum_ {i = 1} ^ n [f (c_i) (\ Delta x_i)]$

L'expression sur le côté droit de l'équation définit une intégrale sur f de a à b. Par conséquent, on obtient

$F (b) - F (a) = \ int_ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm dx$

qui complète la preuve.

Généralisations

Nous ne avons pas besoin d'assumer la continuité de f sur tout l'intervalle. Partie I du théorème dit alors: si f est toute intégrable Lebesgue fonction sur [a, b] et x ₀ est un nombre dans [a, b] tel que f est continue en x _0,

$F (x) = \ ^ int_a x f (t) \, \ mathrm dt$

est dérivable pour x = x ₀ à F '(x ₀₎ = f (x _0). Nous pouvons assouplir les conditions sur f encore et supposons que ce est simplement localement intégrable. Dans ce cas, nous pouvons conclure que la fonction F est différentiable '(x) = presque partout et F f (x) presque partout. Ce est parfois connu comme la différenciation du théorème de Lebesgue.

Partie II du théorème est vrai pour toute fonction intégrable Lebesgue f qui a une primitive F (fonctions intégrables font pas tous, cependant).

La version du Théorème de Taylor qui exprime le terme d'erreur comme une intégrale peut être considérée comme une généralisation du théorème fondamental.

Il existe une version du théorème de complexes fonctions: supposons U est un ouvert de C et f: U → C est une fonction qui a une F primitive holomorphe sur U. Ensuite, pour chaque courbe γ: [a, b] → U, le courbe intégrale peut être calculée comme

$\ Int _ {\ gamma} f (z) \, \ mathrm dz = F (\ gamma (b)) - F (\ gamma (a)).$

Le théorème fondamental peut être généralisée à courbes et de surfaces intégrales de dimensions supérieures et collecteurs .

L'une des déclarations les plus puissants dans cette direction est Théorème de Stokes.

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