Álgebra Linear

Álgebra linear é o ramo da matemática em causa com o estudo de vetores , espaços vetoriais (também chamado de espaços lineares), mapas lineares (também chamados de transformações lineares), e sistemas de equações lineares . Espaços vetoriais são um tema central na moderna matemática ; assim, linear álgebra é amplamente utilizado tanto em álgebra abstrata e análise funcional. Álgebra linear também tem uma representação concreta na geometria analítica e é generalizado em teoria dos operadores. Ele tem inúmeras aplicações na ciências naturais e da ciências sociais, uma vez que os modelos não lineares muitas vezes podem ser aproximadas por aqueles lineares.

História

A história da álgebra linear moderno remonta ao início de 1840. Em 1843, William Rowan Hamilton introduziu quaternions, que descrevem a mecânica no espaço tridimensional. Em 1844, Hermann Grassmann publicou seu livro Die lineale Ausdehnungslehre (ver Referências). Arthur Cayley introduzido matrizes , uma das idéias algébricas lineares mais fundamentais, em 1857. Apesar destes desenvolvimentos adiantados, álgebra linear foi desenvolvido inicialmente no século XX.

Matrizes foram mal-definido antes do desenvolvimento de teoria dos anéis dentro de álgebra abstrata . Com a chegada da relatividade especial , muitos praticantes ganhou apreciação das sutilezas da álgebra linear. Além disso, a aplicação rotineira de Regra de Cramer para resolver equações diferenciais parciais levou à inclusão da álgebra linear em cursos padrão em universidades. ET Copson escreveu, por exemplo,

Francis Galton deu início ao uso de correlação de coeficientes em 1888. Muitas vezes, mais de uma variável aleatória está em jogo e pode ser interligado. Na análise estatística de variáveis aleatórias multivariados a matriz de correlação é uma ferramenta natural. Assim, estudo estatístico de tais vetores aleatórios ajudou a estabelecer o uso da matriz.

Introdução elementar

Álgebra linear teve o seu início no estudo de vetores em cartesiano 2-espaço e 3-espaço. Um vetor, aqui, é uma dirigida segmento de linha, caracterizado por tanto a sua magnitude, representada pelo seu comprimento, e a sua direcção. Os vectores podem ser usados para representar entidades físicas, tais como as forças , e eles podem ser adicionados entre si e multiplicado escalares, formando assim o primeiro exemplo de um verdadeiro espaço vectorial .

Álgebra linear moderno foi estendido para considerar espaços de dimensão arbitrária ou infinito. Um espaço vetorial de dimensão n é chamado de um -espaço n. A maioria dos resultados úteis a partir de 2- e 3-espaço pode ser estendido para estes espaços de dimensões superiores. Embora as pessoas não podem facilmente visualizar vetores no n -espaço, tais vetores ou n -tuples são úteis na representação de dados. Desde vetores, como n -tuples, são listas de n componentes encomendados, é possível sintetizar e manipular dados de forma eficiente neste quadro. Por exemplo, na economia , pode-se criar e utilizar, por exemplo, vectores de 8-dimensional ou 8-tuplas para representar a Produto Interno Bruto de 8 países. Um pode decidir exibir o PIB de 8 países por um ano particular, onde a ordem dos países é especificado, por exemplo, ( Estados Unidos , Reino Unido , França , Alemanha , Espanha , Índia , Japão , Austrália ), usando um vector (v _1, v _2, v _3, v _4, v _{5, 6} v, v _7, v _8), onde o PNB de cada país está em sua respectiva posição.

Um espaço de vetor (ou espaço linear), como um conceito puramente abstrato sobre o qual teoremas são provados, faz parte da álgebra abstrata, e está bem integrada nesta disciplina. Alguns exemplos marcantes deste são o grupo de mapas lineares invertíveis ou matrizes , eo anel de mapas lineares de um espaço vetorial. Álgebra linear também desempenha um papel importante na análise, nomeadamente, na descrição de derivados de ordem superior em análise vector e o estudo de produtos de tensores e mapas alternadas.

Em resumo esta configuração, os escalares com que um elemento de um espaço vectorial pode ser multiplicado não precisa de ser números. O único requisito é que os escalares formar uma estrutura matemática, uma chamada campo. Em aplicações, este campo é geralmente o campo de números reais ou campo de números complexos . Mapas lineares ter elementos de um espaço linear para o outro (ou para si próprio), de uma maneira que é compatível com a multiplicação e adição escalar dada no espaço (s) vector. O conjunto de todas essas transformações é em si um espaço vectorial. Se um base para um espaço vectorial é fixo, cada linear transformada pode ser representado por uma tabela de números de chamada de uma matriz . O estudo detalhado das propriedades e algoritmos que actuam sobre as matrizes, incluindo determinantes e vectores próprios , é considerado como sendo parte da álgebra linear.

Pode-se dizer simplesmente que o problemas lineares de matemática - aqueles que apresentam linearidade em seu comportamento - são os mais propensos a ser resolvido. Por exemplo cálculo diferencial faz um grande negócio com aproximação linear de funções. A diferença de problemas não lineares é muito importante na prática.

O método geral de encontrar uma maneira linear de olhar para um problema, expressando isso em termos de álgebra linear, e resolvê-lo, se necessário, de cálculos de matrizes, é um dos mais geralmente aplicáveis em matemática.

Alguns teoremas úteis

• Cada vector tem um espaço base.
• Quaisquer duas bases do mesmo espaço vectorial têm a mesma cardinalidade; equivalentemente, o dimensão de um espaço vectorial é bem definida.
• Uma matriz é invertível se e somente se seu determinante é diferente de zero.
• Uma matriz é invertível se, e somente se o mapa linear representado pela matriz é uma isomorfismo.
• Se uma matriz quadrada tem uma inversa esquerda ou a direita inverso então é invertida (ver matriz invertível para outras declarações equivalentes).
• Uma matriz é semidefinite positivo se e somente se cada um dos seus valores próprios é maior do que ou igual a zero.
• Uma matriz é definida positiva se e somente se cada um dos seus valores próprios é maior do que zero.
• O teorema espectral (em relação matrizes diagonalizável).

Generalizações e tópicos relacionados

Desde álgebra linear é uma teoria bem-sucedida, os seus métodos têm sido desenvolvidos em outras partes da matemática. Em teoria um módulo substitui o campo de escalares por um anel. Em uma álgebra multilinear considera transformações lineares multivariáveis, isto é, os mapeamentos que são lineares em cada um de um número de diferentes variáveis. Esta linha de investigação leva naturalmente à idéia da produto tensor. Na teoria espectral de operadores de controle de matrizes de dimensão infinita é adquirida, através da aplicação de análise matemática em uma teoria que não é puramente algébrica. Em todos estes casos, as dificuldades técnicas são muito maiores.

Nota

1. ^ A existência de uma base é simples para finitamente gerado espaços vetoriais, mas em generalidade completo é logicamente equivalente à axioma da escolha.