Curva elíptica

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Um catálogo de curvas elípticas. Região mostrado é [-3,3] ² (para a = 0 e b = 0 a função não é bom e, portanto, não uma curva elíptica.)

Em matemática , uma curva elíptica é uma liso, projetiva curva algébrica de um género, na qual existe um ponto O especificado. Uma curva elíptica é de fato um variedade abeliana - isto é, tem uma multiplicação definido algebricamente, com respeito ao qual é um (necessariamente conmutativo ) grupo - S e serve como o elemento de identidade. Muitas vezes, a própria curva, sem O especificada, é chamado de uma curva elíptica.

Qualquer curva elíptica pode ser escrito como uma curva plana algébrica definida por uma equação da forma:

$y ^ 2 = x ^ 3 + ax + b \,$

que é não singular; ou seja, seu gráfico não tem cúspides ou auto-interseções. (Quando o característica do campo coeficiente é igual a 2 ou 3, a equação acima não é muito geral suficiente para compreender a totalidade não singular curvas cúbicos; veja abaixo para uma definição mais precisa.) O ponto O é realmente o " ponto no infinito "no plano projetivo.

Se y ² = P (x), onde P é qualquer grau polinomial de três em x com raízes não utilizadas, em seguida, obtém-se uma curva plana não singular de um género, que é, portanto, também uma curva elíptica. Se P tem um grau quatro e é squarefree esta equação novamente descreve uma curva plana de gênero um; no entanto, ele não tem escolha natural de elemento de identidade. Mais geralmente, qualquer curva algébrica de um género, por exemplo a partir da intersecção de dois quádricas incorporados no espaço tridimensional projectiva, é chamado de uma curva elíptica, desde que tenha, pelo menos, uma ponto racional.

Usando a teoria da funções elípticas, se puder ser demonstrado que as curvas elípticas definidos ao longo dos números complexos correspondem a embeddings do toro para o plano projetivo complexo. O toro também é um grupo abeliano, e de fato esta correspondência é também um isomorfismo grupo.

As curvas elípticas são especialmente importantes na teoria dos números , e constituem uma importante área de pesquisa atual; por exemplo, eles foram usados na prova, por Andrew Wiles (assistido por Richard Taylor), do Último Teorema de Fermat . Eles também encontrar aplicações em criptografia (ver o artigo criptografia de curva elíptica) e fatoração inteiro.

Uma curva elíptica não é uma elipse : ver integral elíptica para a origem do termo. Topologicamente, uma curva elíptica é um toro .

Curvas elípticas sobre os números reais

Embora a definição formal de uma curva elíptica é bastante técnico e requer alguma experiência em geometria algébrica, é possível descrever algumas características das curvas elípticas sobre os números reais usando apenas o ensino médio álgebra e geometria .

Os gráficos das curvas y = x ^{2 3} - x e y = ² x ³ - x + 1

Neste contexto, uma curva elíptica é um curva plana definida por uma equação da forma

$y ^ 2 = x ^ 3 + ax + b \,$

em que a e b são números reais. Este tipo de equação é chamado uma equação Weierstrass.

A definição da curva elíptica também requer que a curva seja não singular. Geometricamente, isto significa que o gráfico tem nenhuma cúspides, auto-intersecções, ou pontos isolados. Algebricamente, isto envolve o cálculo do discriminante

$\ Delta = -16 (4-A ^ 3 + 27b ^ 2).$

A curva é não singular se e só se o discriminante não é igual a zero. (Embora o fator -16 parece irrelevante aqui, ele acaba por ser conveniente em um estudo mais avançado de curvas elípticas.)

O gráfico (real) de uma curva não singular tem dois componentes, se a sua discriminante é positivo, e um componente se for negativo. Por exemplo, nos gráficos apresentados na figura para a direita, o discriminante no primeiro caso é 64, e no segundo caso é -368.

A lei grupo

Ao adicionar um "ponto no infinito", obtém-se a versão projectiva desta curva. Se P e Q são dois pontos da curva, então podemos descrever de forma única um terceiro ponto que é a interseção da curva com a linha através de P e Q. Se a linha é tangente à curva em um ponto, em seguida, esse ponto é contado duas vezes; e se a linha é paralela ao eixo y, nós definimos o terceiro ponto como ponto "no infinito". Exatamente uma dessas condições, em seguida, vale para qualquer par de pontos em uma curva elíptica.

Em seguida, é possível introduzir um grupo de operação , +, na curva, com as seguintes propriedades: considerarmos o ponto no infinito para ser 0, a identidade do grupo; e se uma linha recta intersecta a curva com os pontos P, Q e R, em seguida, é necessário que P + Q + R = 0 no grupo. Pode-se verificar que isso se transforma a curva em um grupo abeliano, e, assim, para uma variedade abeliana. Pode-se mostrar que o conjunto de K - pontos racionais (incluindo o ponto no infinito) forma uma subgrupo deste grupo. Se a curva é denotado por e, em seguida, este subgrupo é muitas vezes escrito como E (K).

O grupo acima descrito pode ser algebricamente, bem como geometricamente. Dada a curva y = ² x ³ - px - q sobre o campo K (cujo característica supomos ser nem 2 nem 3), e os pontos P = _(P x, y _P) e Q = _(Q x, y _Q) sobre a curva, primeiro assumir que X _P ≠ x _Q. Seja s o declive da linha que contém P e Q; ou seja, s = ^{(y _P - y _Q)} / _{(x P - x Q).} Uma vez que K é um campo, s está bem definida. Então, podemos definir R = P + Q = (x _R, -y _R) por

$\ Begin {align} x_R & = s ^ 2 - x_P - x_Q \\ y_R & = y_P + s (x_R - x_P). \ End {align}$

Se x = _P x _Q (terceiro e quarto painéis acima), então existem duas opções: se y = _P - y _Q, incluindo o caso em que y _P = _Q y = 0, então a soma é definido como 0; Assim, o inverso de cada ponto da curva é encontrado através da reflexão que todo o eixo x. Se y _P = y _Q ≠ 0 (segundo painel), então R = P + P = P = 2 _(R x, -y _R) é dada pela

$\ Begin {align} s & = \ frac {3} {x_P ^ 2 - p} {} 2y_P \\ x_R & = s ^ 2 - 2x_P \\ y_R & = y_P + s (x_R - x_P). \ End {align}$

As curvas elípticas sobre os números complexos

Uma curva elíptica sobre os números complexos é obtido na forma de um quociente entre o plano complexo por um Λ estrutura, aqui atravessado por dois períodos fundamentais ω ₁ e ω _2. A quatro torção também é mostrado, o que corresponde a 1/4 da rede Λ contendo Λ.

A formulação de curvas elípticas, como a incorporação de um toro no plano projetivo complexo segue naturalmente de uma curiosa propriedade de Funções elípticas de Weierstrass. Estas funções e a sua primeira derivada estão relacionados pela fórmula

$\ WP '(z) ^ 2 = 4 \ WP (z) ^ 3 -g_2 \ WP (Z) - g_3.$

Aqui, g e ₂ g _{de 3} são constantes; $\ Wp (z)$ é a função elíptica de Weierstrass e $\ Wp '(z)$ seu derivado. Deve ficar claro que esta relação está na forma de uma curva elíptica (ao longo dos números complexos ). As funções de Weierstrass são duplamente periódica; isto é, eles são periódicas no que diz respeito a um treliça Λ; em essência, as funções de Weierstrass são naturalmente definidos num toro T = C / Λ. Esta toro pode ser incorporado no plano projectiva complexo por meio do mapa

$z \ mapsto (1, \ WP (z), \ WP '(z)).$

Este mapa é uma isomorfismo grupo, levando a estrutura do grupo natural do toro no plano projetivo. É também um isomorfismo de superfícies de Riemann , assim topologicamente, uma dada curva elíptica se parece com uma toro. Se a rede está relacionada Λ por multiplicação por um número complexo não-zero ° C c a uma estrutura Λ, então as curvas correspondentes são isomorfos. Classes de isomorfismo de curvas elípticas são especificados pelo j-invariante.

As classes de isomorfismo pode ser entendido de uma maneira mais simples também. As constantes g e ₂ g _{de 3,} o chamado invariantes modulares, são determinados exclusivamente pela estrutura, ou seja, pela estrutura do toro. No entanto, os números complexos formam o corpo de decomposição de polinômios com coeficientes reais, e por isso a curva elíptica pode ser escrita como

$y ^ 2 = x (x - 1) (x - \ lambda). \,$

Verifica-se que

$G_2 = \ frac {4 ^ {\ frac {1} {3}}} {3} (\ lambda ^ 2 - \ lambda + 1)$

$g_3 = \ frac {1} {27} (\ lambda + 1) (2 \ lambda ^ 2-5 \ lambda + 2)$

de modo que o discriminante é modular

$\ Delta = G_2 ^ 3 - 27g_3 ^ 2 = \ lambda ^ 2 (\ lambda - 1) ^ 2.$

Aqui, λ é às vezes chamado de função lambda modular.

Note-se que o uniformização teorema implica que cada compacto Riemann superfície de um género pode ser representada como uma toro.

Isto também permite uma fácil compreensão do Os pontos de torção sobre uma curva elíptica: se a treliça Λ é gerado pelos períodos fundamentais ω ₁ e ω _2, em seguida, os n -torsion pontos são as classes de equivalência (de) pontos da forma $\ Frac {a} {n} \ omega_1 + \ frac {b} {n} \ omega_2$ , Para A e B números inteiros na faixa de 0 a N-1.

Sobre os números complexos, cada curva elíptica tem nove pontos de inflexão. Cada linha através de dois destes pontos também passa por um terceiro ponto de inflexão; os nove pontos e 12 linhas formadas deste modo formar uma realização do Configuração Hesse.

Curvas elípticas sobre os números racionais

Uma curva E definido sobre o campo de números racionais também é definido sobre o campo de números reais, por conseguinte, a lei de adição (de pontos com coordenadas reais) pelo método tangente e secante pode ser aplicada a E. As fórmulas explícitas mostram que a soma dos dois pontos P e Q com coordenadas racionais tem coordenadas novamente racionais, uma vez que a linha que une P e Q tem coeficientes racionais. Desta forma, uma mostra que o conjunto de pontos racionais de E forma um subgrupo do grupo de pontos reais de E. Como este grupo, que é um grupo abeliano, isto é, P + Q = Q + P.

A estrutura de pontos racionais

O resultado mais importante é que todos os pontos pode ser construído segundo o método de tangentes e secantes que começam com um número finito de pontos. Mais precisamente, a Mordell-Weil teorema indica que o grupo E (Q) é um finitamente gerado (abelian) grupo. Pelo teorema fundamental de grupos abelianos finitamente gerados, portanto, é uma soma direta finito de cópias de Z e grupos cíclicos finitos.

A prova de que o teorema assenta em duas componentes: em primeiro lugar, uma mostra que para qualquer inteiro m> 1, o grupo quociente E (Q) / ME (Q) é finito (fraco Teorema Mordell-Weil). Em segundo lugar, a introdução de um função de altura h na racional pontos E (Q) definido pelo h (P ₀₎ = 0 e h (P) = log max (| p |, | q |), se P (desigual ao ponto no infinito P ₀₎ tem como abscissa o racional número x = ^p / _q (com coprimos p e q). Esta função altura h tem a propriedade que h (MP) cresce mais ou menos como a praça de m. Além disso, apenas um número finito de pontos racionais com altura menor do que qualquer exist constante em E.

A prova do teorema é, portanto, uma variante do método de descida infinita e depende da aplicação repetida de Divisões euclidianas no E: deixar P ∈ E (Q) ser um ponto racional na curva, escrita P como a soma de 2 + P ₁ Q _1, onde Q ₁ é um representante fixo de P em E (Q) / 2 E (Q ), a altura de P é de cerca de _{um ^quarto} da de P (em termos mais gerais, substituindo a 2 por qualquer m> 1, e ^_1/4 em ¹ / _{m ^2).} Refazendo o mesmo com a P _1, isto é, P ₁ = P 2 _{2 2} + Q, então P = _{2 3} 2 P + Q _3, etc finalmente P expressa como uma combinação linear integrante de pontos _I e Q de pontos cuja altura é delimitada por uma constante fixa escolhida previamente: pelo teorema fraco Mordell-Weil e a segunda propriedade da função altura P é expresso como uma combinação linear integrante de um número finito de pontos fixos.

Até agora, o teorema não é eficaz, pois não há procedimento geral conhecida para determinar os representantes de E (Q) / ME (Q).

O posto de E (Q), que é o número de cópias de Z em E (Q) ou, de forma equivalente, o número de pontos independentes de ordem infinita, é chamado o posto de E. O Birch e Swinnerton-Dyer conjectura está preocupado com a determinação da classificação. Um conjecturas de que ele pode ser arbitrariamente grande, mesmo com apenas exemplos relativamente pequeno posto são conhecidos. A curva elíptica com maior classificação conhecida é exatamente

y ² + xy = x ³ − 26 175 960 092 705 884 096 311 701 787 701 203 903 556 438 969 515 x + 51 069 381 476 131 486 489 742 177 100 373 772 089 779 103 253 890 567 848 326 .

Ele tem posto 18, encontrado por Noam Elkies em 2006. As curvas de nível, pelo menos 28 são conhecidos, mas sua posição não se sabe exatamente.

Tal como para os grupos constitutivos do torção subgrupo de E (Q), o seguinte é conhecido o subgrupo de torção de E (Q) é um dos seguintes grupos de 15 (um teorema devido a Barry Mazur): Z / Z N para N = 1, 2, ..., 10, ou 12, ou Z / Z 2 × Z / Z 2 N em que N = 1, 2, 3, 4. Exemplos para cada caso são conhecidos . Além disso, curvas elípticas cuja Mordell-Weil grupos sobre Q têm os mesmos grupos de torção pertencem a uma família parametrizada.

A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer

O Birch e Swinnerton-Dyer conjectura (BSD) é um dos Problemas do Milênio da Instituto de Matemática Clay. A conjectura se baseia em objetos analíticos e aritméticas definidas pela curva elíptica em questão.

No lado analítico, um ingrediente importante é uma função de uma variável complexa, L, a Hasse-Weil função zeta de E sobre Q. Esta função é uma variante do Função zeta de Riemann e Funções L de Dirichlet. É definido como um Euler produto, com um fator para cada número primo p.

Para uma curva E sobre Q dada por uma equação mínima

$y ^ 2 + a_1xy + a_3y = x ^ 3 + a_2x ^ 2 + a_4x + a_6 \,$

com coeficientes inteiros a _i, reduzindo os coeficientes modulo p define uma curva elíptica sobre o finito campo F _p (com excepção de um número finito de primos p, onde a curva tem um reduzido singularidade e, portanto, deixa de ser elíptica, no caso em que E é dito ser de má redução na p).

A função zeta de uma curva elíptica sobre um campo finito F _p é, em certo sentido, uma função geradora de montagem da informação do número de pontos de E com valores no finito extensões de campo de F _p, F _{p ^n.} Ela é dada,

$Z (E (\ mathbf {F} _p)) = \ exp \ left (\ sum \ mathrm {card} \ left [E ({\ mathbf F} _ {p ^ n}) \ right] \ frac {T ^ n} {n} \ right).$

A soma interior do exponencial assemelha-se ao desenvolvimento do logaritmo e, na verdade, a função zeta assim definida é um função racional:

$Z (E (\ mathbf {F} _p)) = \ frac {1 - a_pT + pT ^ 2} {(1 - T) (1 - pT)}.$

A função zeta de Hasse-Weil de E sobre Q é então definido por recolher estas informações, para todos números primos p. É definido pela

$L (E (\ mathbf {Q}), s) = \ prod_p \ left (1 - A_P p ^ {- s} + \ varepsilon (p) p ^ {1 - 2s} \ right) ^ {- 1},$

onde ε (p) = 1 se E tem boa redução de p e 0 outro modo (caso em que um _p de forma diferente do que é definido acima).

Este produto converge para $\ Scriptstyle \ Re (s) \;> \; \ Frac {3} {2}$ Somente. A conjectura de Hasse afirma que a L -Função admite uma continuação analítica para todo o complexo de avião e satisfaz um equação funcional relacionada, para qualquer s, L (E, S) para L (E, 2- s). Em 1999, esta mostrou ser uma consequência da prova da conjectura de Shimura-Taniyama-Weil, que afirma que cada curva elíptica sobre Q é um curva modular, o que implica que o seu L -Função é o G -Função de um forma modular cuja continuação analítica é conhecida.

Podemos, portanto, falar sobre os valores de L (E, s) a qualquer número complexo s. A conjectura de Birch-Swinnerton-Dyer refere a aritmética da curva para o comportamento de sua L -Função em s = 1. Mais precisamente, ele afirma que a ordem do L -Função em s = 1 é igual a classificação de E e prevê o levando termo da série de Laurent L (E, s) nesse ponto, em termos de várias quantidades ligados à curva elíptica.

Muito parecido com o Hipótese de Riemann, esta conjectura tem várias consequências, incluindo as duas seguintes:

Seja n um estranho livre-quadrado inteiro. Assumindo que a conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer, n é a área de um triângulo retângulo com comprimentos laterais racionais (a congruente número) se e só se o número de tripletos de inteiros (x, y, z) que satisfaz $\ Scriptstyle 2x ^ 2 \, + \, y ^ 2 \, + \, 8z ^ 2 \; = \; n$ é duas vezes o número de triplos satisfazendo $\ Scriptstyle 2x ^ 2 \, + \, y ^ 2 \, + \, 32Z ^ 2 \; = \; n$ . Esta declaração, devido à Tunnell, está relacionado com o facto de que o símbolo n representa um número congruentes se e apenas se a curva elíptica $\ Scriptstyle y ^ 2 \; = \; x ^ 3 \, - \, N ^ 2x$ tem um ponto racional de ordem infinita (assim, sob a conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer, sua L -Função tem um zero a 1). O interesse por esta afirmação é que a condição é facilmente verificado.
Em uma direcção diferente, certos métodos de análise para permitir uma estimativa da ordem de zero no centro do faixa crítica de famílias de L -Funções. Admitindo a conjectura BSD, estas estimativas correspondem a informações sobre a classificação de famílias de curvas elípticas em questão. Por exemplo ,: suponha que o hipótese de Riemann generalizada ea conjectura BSD, a classificação média de curvas dada pelo $y ^ 2 = x ^ 3 + ax + b$ é menor do que 2.

O teorema de modularidade e sua aplicação à Último Teorema de Fermat

O teorema de modularidade, uma vez conhecida como a conjectura de Taniyama-Shimura-Weil, afirma que cada curva elíptica E sobre Q é um curva modular, isto é, a sua função zeta Hasse-Weil, é a de um G -Função forma modular de peso 2 e nível N, onde N é a condutor de E (um inteiro divisível pelos mesmos números primos como o discriminante de E, Δ (E)). Em outras palavras, se, por $\ Scriptstyle \ Re (s) \;> \; \ Frac {3} {2}$ , Um escreve o L -Função na forma

$L (E (\ mathbf {Q}), s) = \ sum_ {n> 0} uma (n) n ^ {- s}$

a expressão $\ Scriptstyle \ soma um (n) q ^ n$ , Em que q = exp (2π iz) define um sistema modular parabólico newform de peso 2 e nível N. Para números primos ℓ não dividindo N, o coeficiente $\ Scriptstyle uma (\ ell)$ de forma igual ℓ - o número de soluções da equação mínima da curva ℓ módulo.

Por exemplo, para a curva elíptica $\ Scriptstyle y ^ 2 \, - \, y \; = \; x ^ 3 \, - \, x$ com discriminante (e direcção) 37, está associado a forma $\ Scriptstyle f (z) \; = \; q \, - \ de 2T ^ 2 \, \ - de 3T ^ 3 \, \ + de 2T ^ 4 \, \ - de 2T ^ 5 \, \ +, 6q ^ 6 \, + \, \ cdots$ , Onde $\ Scriptstyle q \; = \; \ Exp (2 \ pi iz)$ . Para números primos ℓ distintas de 37, pode-se verificar a propriedade sobre os coeficientes. Assim, para ℓ = 3, as soluções da equação 3 são módulo (0, 0), (0, 1), (2, 0), (1, 0), (1, 1), (2, 1) , e como $\ Scriptstyle um (3) \; = \; 3 \, - \, 6 \; = \; -3$ .

A conjectura, voltando aos anos cinquenta, foi completamente mostrado em 1999 usando idéias de Andrew Wiles, que já provou isso em 1994 para uma família grande de curvas elípticas.

Existem várias formulações da conjectura. Mostrando que eles são equivalentes é difícil e foi um tema principal da teoria dos números na segunda metade do século 20. A modularidade de uma curva elíptica E do condutor N pode também ser expressa por dizer que existe uma não constante mapa racional definida sobre Q, a partir da curva modular $X_0 (N)$ dedo do pé. Em particular, os pontos de E pode ser parametrizada pela funções modulares.

Por exemplo, uma parametrização modular da curva $\ Scriptstyle y ^ 2 \, + \, y \; = \; x ^ 3 \, - \, x$ é dado pela

$\ begin {align} x (z) & q = ^ {- 2} + 2q ^ {- 1} + 5 + 9q + 18q ^ 2 + 29q ^ 3 + ... \\ y (z) = & q ^ {} -3 + 3Q ^ {- 2} + 9q ^ {- 1} + 21 + 46Q + 92q ^ 2 + ... \ end {align}$

onde, como acima, q = exp (2π iz). As funções x (z) e y (z) são modulares de peso e 0 nível 37; em outras palavras, eles são meromorfa, definido na semi-plano superior $\ Scriptstyle \ Im (z) \,> \, 0$ e satisfazer $\ Scriptstyle x \ left (\ frac {az \, + \, b} {cz \, + \, d} \ right) \; = \; x (z)$ e do mesmo modo para y (z) para todos os inteiros a, b, c, d com ad - bc = 1 e 37 | c.

Outra formulação depende da comparação de Representações de Galois ligado por um lado a curvas elípticas, e por outro lado a formas modulares. Esta última fórmula foi utilizada na prova a conjectura. Lidar com o nível das formas (e a ligação para o condutor da curva) é particularmente delicada.

A aplicação mais espetacular da conjectura é a prova do Último Teorema de Fermat (FLT). Suponha que, para um primo p> 5, a equação de Fermat

$a ^ p + b = c ^ p ^ p \,$

tem uma solução com inteiros diferentes de zero, por conseguinte, um contra-exemplo de FLT. Em seguida, a curva elíptica

$y ^ 2 = x (x - a ^ p) (x + b ^ p) \,$

de discriminante $\ Scriptstyle \ Delta \; = \; \ Frac {1} {256} (abc) ^ {2p}$ não pode ser modular. Assim, a prova da conjectura de Taniyama-Shimura-Weil para esta família de curvas elípticas (chamados curvas Hellegouarch-Frey) implica a FLT. A prova da ligação entre essas duas declarações, baseado em uma idéia de Gerhard Frey (1985), é difícil e técnico. Foi estabelecido por Kenneth Ribet em 1987.

Pontos Integral

Esta secção refere-se a pontos P = (x, y) de E tal que x é um número inteiro. O seguinte teorema é devido a CL Siegel: o conjunto de pontos P = (x, y) de E (Q) de modo a que x é integral é finito. Este teorema pode ser generalizada para pontos cuja coordenada x tem um denominador divisível apenas por um conjunto finito fixo de números primos.

O teorema podem ser formuladas eficazmente. Por exemplo, se a equação de Weierstrass E tem coeficientes inteiros delimitadas por uma constante h, as coordenadas (X, Y) de um ponto de E com ambos x e y inteiro satisfazer:

$\ Max (| x |, | y |) <\ exp \ left (\ left [10 ^ 6H \ right] ^ {{10} ^ 6} \ right).$

Por exemplo, a equação $\ Scriptstyle y ^ 2 \; = \; x ^ 3 \, + \, 17$ tem oito soluções integrais com y> 0:

(X, y) = (1,4), (2,3), (2,5), (4,9), (8,23), (43,282), (52,375), (5 234, 378 661).

Como outro exemplo, A equação de Ljunggren, uma curva cuja forma Weierstrass é y = ² x ^3-2 x, tem apenas quatro soluções com y ≥ 0:

(X, y) = (0,0), (1,1), (2, 2), (338,6214).

Generalização para campos de números

Muitos dos resultados anteriores permanecem válidos quando o campo de definição de E, é um campo do número, isto é, um finito extensão domínio da Q. Em particular, o grupo E (K) de K pontos -rational de uma curva elíptica definida sobre K é gerado um número finito, que generaliza o teorema de Mordell-Weil acima. Um teorema devido a Loïc Merel mostra que, para um dado inteiro d, existem ( a menos de isomorfismo) apenas um número finito de grupos que podem ocorrer como os grupos de torção de E (K) para uma curva elíptica definida sobre um campo de número de K grau d. Mais precisamente, existe um número B (d) tal que para qualquer curva elíptica E definida ao longo de um campo de número K de grau d, qualquer ponto de torção de E (K) é de ordem inferior a B (d). O teorema é eficaz: para d> 1, se um ponto de torção é de ordem p, com p primo, então $\ Scriptstyle p \; <\; d ^ {2} ^ 3d$ .

Quanto aos pontos integrais, o teorema de Siegel generaliza para o seguinte: seja E uma curva elíptica definida sobre um campo de número K, X e Y coordena o Weierstrass. Em seguida, os pontos de E (K) cuja coordenada x x é no O anel dos inteiros _K é finito.

As propriedades da função zeta Hasse-Weil e Birch e Swinnerton-Dyer conjectura também pode ser estendido para esta situação mais geral.

Curvas elípticas sobre um campo geral

As curvas elípticas podem ser definidos sobre qualquer campo K; a definição formal de uma curva elíptica é uma curva algébrica projetiva não singular sobre K com genus 1 com um determinado ponto definido sobre K.

Se o característica de K não é nem 2 nem 3, então cada curva elíptica sobre K pode ser escrita na forma

$y ^ 2 = x ^ 3 - px - q \$

onde p e q são elementos de K tal que o polinômio lado direito x ³ - px - q não tem nenhum raízes duplas. Se a característica for 2 ou 3, em seguida, mais termos devem ser mantidos: característica em 3, a equação mais geral é o de forma

$y ^ 2 = 4 x ^ 3 + b_2 x ^ 2 + 2b_4 x + b_6 \$

para constantes arbitrárias $\ Scriptstyle b_2, \, b_4, \, b_6$ de tal modo que o polinómio no lado da mão direita tem raízes distintos (a notação é escolhido por razões históricas). Em característico 2, mesmo este não é muito possível, e a equação geral é mais

$y ^ 2 + a_1 xy + a_3 y = x ^ 3 + a_2 x ^ 2 + a_4 x + a_6 \$

desde que a variedade que define não é singular. Se não fosse uma característica obstrução, cada equação iria reduzir aos anteriores por uma mudança adequada de variáveis.

Um normalmente leva a curva para o conjunto de todos os pontos (x, y) que satisfazem a equação acima e tal que ambos X e Y são elementos da fecho algébrico de K. Pontos da curva cujas coordenadas ambos pertencem a K são chamados K pontos -rational.

Isogenia

Deixe-E e D ser curvas elípticas sobre um campo de k. Um isogenia entre E e D é um finito morphism f: E → D de variedades que preserva pontos base (em outras palavras, mapeia o ponto dado no E para que em D).

As duas curvas são chamados isógenos se houver um isogenia entre eles. Esta é uma relação de equivalência , simetria sendo devido à existência do isogenia dupla. Cada isogenia é uma algébrica homomorphism e induz assim homomorphisms dos grupos de curvas elípticas para k pontos -valued.

As curvas elípticas sobre campos finitos

Jogo dos pontos afim de curva elíptica y ² = x ³ - x sobre o campo finito $\ Scriptstyle \ mathbf {F} _ {61}$ .

Seja K = F _q ser o campo finito com elementos Q e E uma curva elíptica definida sobre K. Embora o exacto número de pontos racionais de uma curva elíptica E sobre K é em geral bastante difícil de calcular, Teorema de Hasse em curvas elípticas nos dá, incluindo o ponto no infinito, a seguinte estimativa:

$| \ Mathrm {} cartão de E (K) - (q + 1) | \ le 2 \ sqrt {q}.$

Em outras palavras, o número de pontos da curva aproximadamente como cresce o número de elementos no campo. Este fato pode ser entendida e comprovada com a ajuda de alguma teoria geral; ver função zeta local, Cohomology étale.

Jogo dos pontos afim de curva elíptica y ² = x ³ - x sobre o campo finito $\ Scriptstyle \ mathbf {F} _ {89}$ .

O conjunto de pontos de E (F _q) é um grupo abeliano finito. É sempre cíclico ou o produto de dois grupos cíclicos. Por exemplo, a curva definida pela

$y ^ 2 = x ^ 3 - x$

sobre F ₇₁ tem 72 pontos (71 pontos afins, incluindo (0,0) e um ponto no infinito) sobre esta matéria, cuja estrutura grupo é dada por Z / 2 × Z Z / 36 Z. O número de pontos sobre uma curva específica pode ser calculada tendo Algoritmo do Schoof.

Estudando a curva sobre o extensões de campo de F _q é facilitada pela introdução da função zeta locais de E sobre F _q, definido por uma série de geração (ver também acima)

$Z (E (K), T) \ equiv \ exp \ left (\ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ mathrm {card} \ left [E (K_n) \ right] {T ^ n \ over n } \ right)$

onde o campo K _n é o (único) de extensão K = F _q de grau n (isto é, $\ Scriptstyle \ mathbf F_ {q ^ n}$ ). A função zeta é uma função racional em T. Existe um número inteiro tal que

$Z (E (K), T) = {{1 - AT + qT ^ 2} \ over {(1 - qT) (1 - T)}}.$

Além disso,

$\ Begin {align} Z \ left (E / K, {1 \ over qT} \ right) = & Z (E / K, T) \\ \ left (1 - AT + qT ^ 2 \ right) & = ( 1 - \ alpha T) (1 - \ beta T) \ end {align}$

com α números complexos, β de valor absoluto $\ Scriptstyle \ sqrt {q}$ . Este resultado é um caso especial da Conjecturas de Weil. Por exemplo, a função de zeta $\ Scriptstyle y ^ 2 \, + \, y \; = \; x ^ 3$ sobre o campo F ₂ é dada pela $\ Scriptstyle \ frac {1 \, + \, 2T ^ 2} {(1 \, - \, T) (1 \, - \, 2T)}$ uma vez que a curva tem $\ Scriptstyle 2 ^ r \, + \, 1$ ( $\ Scriptstyle 2 ^ r \, + \, 1 \, - \, 2 (-2) ^ {\ frac {r} {2}}$ ) Aponta sobre $\ Scriptstyle {\ mathbf F_ ^ r {2}}$ se R é impar (mesmo, respectivamente).

Jogo dos pontos afim de curva elíptica y ² = x ³ - x sobre o campo finito $\ Scriptstyle \ mathbf {F} _ {71}$ .

O Sato-Tate conjectura é uma declaração sobre a forma como o termo de erro $\ Scriptstyle 2 \ sqrt {q}$ no teorema de Hasse varia com os diferentes números primos q, se você tomar uma curva elíptica E sobre Q e reduzi-lo q modulo. Foi comprovado (para quase todos os tais curvas) em 2006 devido aos resultados de Taylor, Harris e Pastor-Barron, e diz que os termos de erro são equidistributed.

As curvas elípticas sobre campos finitos são nomeadamente aplicadas em criptografia e para a fatoração de números inteiros grandes. Estes algoritmos utilizam frequentemente a estrutura do grupo de pontos de E. Algoritmos que são aplicáveis a grupos gerais, por exemplo, o grupo de elementos invertíveis em campos finitos, $\ Scriptstyle {\ mathbf F_q} ^ *$ , Pode, assim, ser aplicada ao grupo de pontos de uma curva elíptica. Por exemplo, a logaritmo discreto é um tal algoritmo. O interesse no presente é que a escolha de uma curva elíptica permite uma maior flexibilidade do que a escolha de q (e, assim, o grupo de unidades de M _q). Além disso, a estrutura do grupo de curvas elípticas é geralmente mais complicada.

Algoritmos que usam curvas elípticas

As curvas elípticas sobre campos finitos são usados em alguns criptográficas aplicações, bem como para fatoração inteiro. Tipicamente, a ideia geral nestas aplicações é conhecido que um algoritmo que faz uso de certos grupos finitos é reescrita para utilizar os grupos de pontos racionais de curvas elípticas. Para obter mais Veja também:

Criptografia de curva elíptica
Elliptic Curve DSA
Lenstra curva elíptica fatoração
Curva elíptica primality prova

Representações alternativas de curvas elípticas

Curva Hessian
Curva de Edwards
Curva torcida
Curva torcida Hessian
Curva torcida Edwards
Orientada a duplicação curva Doche-Icart-Kohel
Orientada triplicando-curva Doche-Icart-Kohel
Curva Jacobian
Curva Montgomery

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