Fatoração

Em matemática , fatoração (também em factorisation Britânica Inglês) ou factoring é a decomposição de um objecto (por exemplo, um número , um polinómio , ou uma matriz ) para um produto de outros objetos, ou fatores, que, quando multiplicados juntos dão o original. Por exemplo, o número 15 fatores em números primos como 3 × 5, e as polinomiais x ^2-4 fatores como (x - 2) (x + 2). Em todos os casos, um produto de objectos mais simples é obtido.

O objetivo do factoring é geralmente para reduzir algo para "blocos básicos de construção", tais como números de números primos, ou polinômios para polinômios irredutíveis. Factoring inteiros é coberto pelo teorema fundamental da aritmética e factoring polinômios pelo teorema fundamental da álgebra.

O oposto de fatoração é expansão. Este é o processo de multiplicar juntamente factores para recriar o original, "expandidas" polinomial .

Fatoração inteiro para inteiros grandes parece ser um problema difícil. Não há nenhum método conhecido para realizá-lo rapidamente. Sua complexidade é a base da garantia assumida de alguns algoritmos de criptografia de chaves públicas, tais como RSA.

Uma matriz também pode ser fatorado em um produto de matrizes de tipos especiais, para uma aplicação em que essa forma é conveniente. Um grande exemplo disso usa um ortogonal ou matriz unitária, e um matriz triangular. Existem diferentes tipos: QR decomposição, LQ, QL, RQ, RZ.

Outro exemplo é o factorization de uma função de como a composição de outras funções que têm certas propriedades; por exemplo, cada função pode ser vista como a composição de um função surjective com um função injetora.

Fatoração Prime de um inteiro

Pelo teorema fundamental da aritmética , cada positivo inteiro tem um exclusivo fatoração em primos. Dado um algoritmo de fatoração por inteiro, pode levar qualquer inteiro até seus constituintes primos pela aplicação repetida deste algoritmo. Para grandes números, não eficiente algoritmo é conhecido. Para os números menores, no entanto, há uma variedade de algoritmos diferentes que podem ser aplicados.

Fatorar um polinômio quadrático

Qualquer polinomial quadrático sobre os números complexos (polinômios da forma onde , E ∈ ) Pode ser tido em conta um expressão com a forma usando a fórmula quadrática . O método é o seguinte:

onde e são os dois raízes do polinômio, encontradas com a fórmula quadrática .

Polinômios factorável sobre os inteiros

Polinômios quadráticos às vezes podem ser tidos em conta dois binómios com coeficientes inteiros simples, sem a necessidade de usar a fórmula quadrática. Em uma equação quadrática , este irá expor as suas duas raízes. A fórmula

seriam tidos em conta:

onde

Você pode então definir cada binomial igual a zero e resolver para x para revelar as duas raízes. Factoring não envolve quaisquer outras fórmulas, e é na maior parte apenas algo que você vê quando você se depara com uma equação quadrática.

Tome, por exemplo, 2 x ^2-5 x + 2 = 0. Devido a = 2 e Mn = a, Mn = 2, o que significa que de m e n, é 1 e o outro representa 2. Agora temos (2 x + p) (x + q) = 0. Como c = 2 e = pq pq C, = 2, o que significa que um de p e q é 1, um e o outro é 2 ou um representa 1 e o outro é - 2. A suposição e verificação de substituir o 1 e 2, e -1 e -2, em p e q (ao aplicar pn + mq = b) nos diz que 2 x ^2-5 x + 2 = 0 em fatores (2 x - 1) (x - 2) = 0, dando-nos as raízes x = {0,5, 2}

Se um polinômio com coeficientes inteiros tem um discriminante que é um quadrado perfeito, que é polinomial factorável sobre os inteiros.

Por exemplo, olhe para o polinômio 2x ² + 2x - 12. Se você substituir os valores da expressão para a fórmula quadrática, o discriminante torna-se ^2-4 fevereiro × 2 × -12, o que equivale a 100. 100 é um quadrado perfeito, então o polinômio 2x ² + 2x - 12 é factorável sobre os inteiros; os seus factores são 2, (X - 2), e (x + 3).

Agora olhe para o polinômio x ² + 93x - 2. Seu discriminante, 93 ^2-4 × 1 × -2, é igual a 8657, que não é um quadrado perfeito. Então x ² + 93x - 2 não pode ser tomada sobre os inteiros.

Perfeito trinômio quadrados

Uma prova visual da identidade (a + b) ² = a ² + ² + b 2ab

Alguns quadráticas podem ser tidos em conta dois binómios idênticos. Estes quadráticas são chamados perfeitos trinômio quadrados. Perfeito trinômio quadrados pode ser tido como segue:

Soma / diferença de dois quadrados

Outro tipo comum de factoring algébrica é chamado de diferença de dois quadrados. É a aplicação da fórmula

para quaisquer dois termos, quer sejam ou não são quadrados perfeitos. Se os dois termos são subtraídos, basta aplicar a fórmula. Se eles são adicionados, os dois binómios obtidos a partir do factoring terão cada um termo imaginário. Esta fórmula pode ser representada como

.

Por exemplo, podem ser tidos em conta .

Factoring outros polinômios

Soma / diferença de dois cubos

Outra fórmula menos utilizado, mas ainda comum para factoring é a soma ou diferença de dois cubos. A soma pode ser representada pela

ea diferença por

Por exemplo, x ^{03-10 marco} (ou x ^3-1000) pode ser tido em conta em (x - 10) ^(x2 + x + 10 100).

Soma / diferença de dois números levantados para o mesmo poder

Em geral, é um factor de onde é um número inteiro positivo. Assim,

Além disso, é um factor de onde é um mesmo número inteiro positivo. De tal modo que,

Da mesma forma, é um factor de onde é um inteiro impar positivo. De modo que,

Factoring por agrupamento

Outra maneira de levar algumas equações é factoring pelo agrupamento. Isto é feito colocando os termos em uma expressão em dois ou mais grupos, em que cada grupo pode ser consignado por um método conhecido. Os resultados destes fatorações pode por vezes ser combinados para fazer uma expressão ainda mais simplificado.

Por exemplo, suponha que você tinha a expressão

que à primeira vista se parece com uma expressão de difícil controle. Um passo lógico, se você decidir levar por agrupamento, seria combinar todas as expressões com e tudo isto sem . Então você teria a expressão

onde cada um dos dois grupos podem ser tidos dando

Isso pode ser ainda mais simplificada em

quando pode, então, ser tidos em conta

e finalmente

que é a expressão de forma plenamente integrado.

Outras fórmulas comuns

Existem muitas fórmulas adicionais que podem ser usados para levar facilmente um polinómio. Alguns dos mais comuns estão listados abaixo.

Forma expandida	Forma fatorada
( A identidade de Sophie Germain)

Factoring na lógica matemática

Em lógica matemática e automatizado prova de teoremas, o factoring é a técnica de derivar um único, mais específico átomo de uma disjunção de dois mais geral unificáveis átomos. Por exemplo, a partir de ∀ X, Y: P (x, a) ou P (b, Y) que podem derivar P (b, a).