série Power

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En mathématiques , une série de puissance (une variable) est un série infinie de la forme

$f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n \ left (xc \ right) ^ n = a_0 + a_1 (xc) ^ 1 + a_2 (xc) ^ 2 + A_3 (xc) ^ 3 + \ cdots$

où _n représente un coefficient correspondant à la n ième terme, c est une constante, et x varie autour de c (pour cette raison, on parle parfois de la série comme étant centrée à c). Cette série se pose généralement que la série de Taylor de certains connu fonction ; la série de Taylor article contient de nombreux exemples.

Dans de nombreuses situations, c est égal à zéro, par exemple lors de l'examen d'une série de Maclaurin . Dans de tels cas, la série de puissance prend la forme simple

$f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty A_N x ^ n = a_0 + x + A_1 A_2 x ^ 2 + A_3 x ^ 3 + \ cdots.$

Ces séries de puissance proviennent principalement de l'analyse, mais également se produire dans la combinatoire (sous le nom de générer fonctions) et en génie électrique (sous le nom de la Z-transform). Le familier notation décimale pour entiers peut aussi être considérée comme un exemple d'une série de puissance, mais avec l'argument x fixé à 10. En théorie des nombres , la notion de nombres p-adiques est aussi étroitement liée à celle d'une série de puissance.

La fonction exponentielle (en bleu), et la somme des n premiers termes de son une série de puissance Maclaurin (en rouge).

Exemples

Tout polynôme peut être facilement exprimée comme une série d'alimentation autour de ne importe quel centre c, quoique avec la plupart des coefficients égaux à zéro. Par exemple, le polynôme $f (x) = x ^ 2 + 2x + 3$ peut se écrire comme une série de puissance autour du centre $c = 0$ comme

$f (x) = x 3 + 2 + 1 x ^ 2 + 0 x ^ 3 + 0 + x ^ 4 \ cdots \,$

ou autour du centre $c = 1$ comme

$f (x) = 6 + 4 (x-1) + 1 (x-1) ^ 2 + 0 (x-1) + 3 ^ 0 (x-1) + 4 ^ \ cdots \,$

ou encore autour de tout autre centre c. On peut voir la série de puissance comme étant comme "polynômes de degré infini,« bien que la série de puissance ne sont pas polynômes.

Le formule série géométrique

$\ frac {1} {1} = x-\ sum_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + \ cdots,$

qui est valable pour $| X | <1$ , Est un des exemples les plus importants d'une série de puissance, ainsi que la formule de fonction exponentielle

$e ^ x = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {x ^ n} {n!} = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 3} { 3!} + \ cdots,$

et la formule sine

$\ Sin (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ nx ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!} = X - \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 5} {5!} - \ frac {x ^ 7} {!} + 7 \ cdots,$

valable pour tout réel x. Ces séries de puissance sont aussi des exemples de séries de Taylor .

Puissances négatives ne sont pas autorisées dans une série de puissance, par exemple $1 + x ^ {- 1} + x ^ {- 2} + \ cdots$ ne est pas considérée comme une série de puissance (bien que ce soit un Laurent série). Pouvoirs même, fractionnaires tels que $x ^ {1/2}$ ne sont pas autorisés (mais voir Puiseux série). Les coefficients $a_n$ ne sont pas autorisés à dépendre $x$ , Ainsi, par exemple:

$\ Sin (x) + x \ sin (2x) x ^ 2 + \ sin (3x) x ^ 3 + \ cdots \,$ ne est pas une série de puissances.

Rayon de convergence

Une série de puissance vont converger pour certaines valeurs de la variable x et peuvent se écarter pour d'autres. Toutes les séries de puissance converge à x = c. Il ya toujours un nombre r avec 0 ≤ r ≤ ∞ tels que la série converge lorsque | x - c | <r et diverge lorsque | x - c |> r. Le nombre r est appelé le rayon de convergence de la série de puissance; en général, elle est donnée à titre

$r = \ liminf_ {n \ to \ infty} \ left | a_n \ right | ^ {- \ frac {1} {n}}$

ou, de manière équivalente,

$r ^ {- 1} = \ limsup_ {n \ to \ infty} \ left | a_n \ right | ^ {\ frac {1} {n}}$

(Voir Limites inférieure et supérieure). Un moyen rapide pour calculer ce est

$r ^ {- 1} = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left | {a_ {n + 1} \ over a_n} \ right |$

si cette limite existe.

Les séries converge absolument | x - c | <r et converge uniformément sur tout compacte sous-ensemble de {x: | x - c | <r}.

Pour | x - c | = r, nous ne pouvons faire aucune déclaration générale si la série converge ou diverge. Cependant, Le théorème d'Abel indique que la somme de la série est continue au point x si la série converge à x.

Les opérations sur les séries de puissance

Addition et soustraction

Lorsque sont décomposés deux fonctions f et g dans la série de puissance autour du même centre C, la série de puissances de la somme ou la différence des fonctions peuvent être obtenues par addition et la soustraction de termwise. Autrement dit, si:

$f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n (x-c) ^ n$

$g (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty b_n (x-c) ^ n$

puis

$f (x) \ h g (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (a_n \ h b_n) (xc) ^ n$

Multiplication et division

Avec les mêmes définitions ci-dessus, pour la série d'alimentation du produit et quotient des fonctions peuvent être obtenus comme suit:

$f (x) g (x) = \ left (\ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n (xc) ^ n \ right) \ left (\ sum_ {n = 0} ^ \ infty b_n (xc) ^ n \ right)$

$= \ Sum_ {i = 0} ^ \ infty \ sum_ {j = 0} ^ \ infty a_i b_j (xc) ^ {i + j}$

$= \ Sum_ {n = 0} ^ \ infty \ gauche (\ sum_ {i = 0} ^ n a_i b_ {ni} \ right) (xc) ^ n.$

La séquence $m_n = \ sum_ {i = 0} ^ n a_i b_ {n-i}$ qui est connu comme le convolution de la séquence $a_n$ et $b_n$ .

Pour la division, d'observer:

${F (x) \ over g (x) = {} \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n (xc) ^ n \ over \ sum_ {n = 0} ^ \ infty b_n (xc) ^ n} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty d_n (xc) ^ n$

$f (x) = \ left (\ sum_ {n = 0} ^ \ infty b_n (xc) ^ n \ right) \ left (\ sum_ {n = 0} ^ \ infty d_n (xc) ^ n \ right)$

puis utiliser ce qui précède, la comparaison des coefficients.

Différenciation et d'intégration

Une fois qu'une fonction est donnée à une série de puissance, il est continue là où il converge et est dérivable sur la intérieur de cet ensemble. Il peut être différencié et intégré assez facilement, en traitant séparément chaque terme:

$f ^ \ prime (x) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty a_n n \ gauche (xc \ right) ^ {n-1} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_ {n + 1} \ left (n + 1 \ right) \ left (xc \ right) ^ {n}$

$\ Int f (x) \, dx = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {a_n \ gauche (xc \ right) ^ {n + 1}} {n + 1} + k = \ {n sum_ = 1} ^ \ infty \ frac {a_ {n-1} \ left (xc \ right) ^ {n}} {} n + k.$

Ces deux séries ont le même rayon de convergence que celui d'origine.

Fonctions analytiques

Une fonction f définie sur certaines ouvert U de R ou C est appelé analytique si elle est localement donnée par la série de puissance. Cela signifie que tout a ∈ U a un ouverte voisinage V ⊆ U, tel qu'il existe une série de puissance de centre a qui converge vers f (x) pour tout x ∈ V.

Chaque série de puissance avec un rayon positif de la convergence est analytique sur la intérieur de sa région de convergence. Tous fonctions holomorphes sont analytique complexe. Les sommes et produits de fonctions analytiques sont analytiques, comme le sont les quotients tant que le dénominateur est différent de zéro.

Si une fonction est analytique, il est infiniment souvent différentiables, mais dans le cas réel l'inverse ne est pas vrai en général. Pour une fonction analytique, les coefficients a _n peut être calculé comme

$a_n = \ frac {f ^ {\ left (n \ right)} \ left (c \ right)} {n!}$

où $^ {f (n)} (c)$ désigne la nième dérivée de f au c, et $f ^ {(0)} (c) = f (c)$ . Cela signifie que chaque fonction analytique est représenté localement par son série de Taylor .

La forme globale d'une fonction analytique est complètement déterminée par son comportement local dans le sens suivant: si f et g sont deux fonctions analytiques définies sur le même ouvert connexe U, et se il existe un élément c ∈ U tel que f ⁽ⁿ⁾ (c) = g ⁽ⁿ⁾ (c) pour tout n ≥ 0, alors f (x) = g (x) pour tout x ∈ U.

Si une série de puissance avec un rayon de convergence R est donné, on peut considérer continuations analytiques de la série, ce est à dire les fonctions analytiques f qui sont définis sur de plus grands ensembles de {x: | x - c | <r} et d'accord avec la série de puissance donnée sur cet ensemble. Le nombre r est maximale dans le sens suivant: il existe toujours un nombre complexe x avec | x - a | = r de telle sorte qu'aucun prolongement analytique de la série peut être défini en x.

Le développement en série de puissance de la fonction inverse d'une fonction analytique peut être déterminée en utilisant le Lagrange théorème d'inversion.

Les séries formelles

En algèbre abstraite , on tente de capturer l'essence de la série de puissance sans être limité à la champs de nombres réels et complexes, et sans le besoin de parler de convergence. Cela conduit à la notion de série formelle, un concept d'une grande utilité dans combinatoire algébrique.

série Power à plusieurs variables

Une extension de la théorie est nécessaire aux fins de Fonction de plusieurs variables. Une série de puissance est ici défini comme une série infinie de la forme

$f (x 1, \ dots, x_n) = \ {sum_ j_1, \ dots, j_n = 0} ^ {\ infty} {a_ j_1, \ dots, j_n} \ prod_ {k = 1} ^ n \ gauche (x_k - C_K \ right) ^ {} j_k,$

où j = (j _1, ..., _n j) est un vecteur de nombres entiers, les coefficients a _{(j 1, ..., n j)} sont généralement des nombres réels ou complexes, et le centre c = (c ₁ , ..., c _n) et l'argument x = (x _1, ..., x _n) sont généralement des vecteurs réels ou complexes. Dans la plus pratique Multi-indice ce qui peut être écrit

$f (x) = \ sum _ {\ alpha \ in \ mathbb {N} ^ n} a _ {\ alpha} \ left (x - c \ right) ^ {\ alpha}.$

La théorie de cette série est plus difficile que pour les séries une seule variable, avec des zones les plus complexes de convergence. Par exemple, la série de puissance $\ Sum_ {n = 0} ^ \ infty x_1 ^ n ^ n x_2$ est absolument convergente dans l'ensemble $\ {(X_1, x_2): | x_1 x_2 | <1 \}$ entre deux hyperboles. (Ceci est un exemple d'un ensemble de connexion convexe, en ce sens que l'ensemble des points $(\ Log | x_1 |, \ log | x_2 |)$ Où $(X_1, x_2)$ se trouve dans la région ci-dessus, est un ensemble convexe. Plus généralement, on peut montrer que lorsque c = 0, l'intérieur de la région de la convergence absolue est toujours un ensemble de log-convexe dans ce sens.) D'autre part, à l'intérieur de cette région de la convergence, on peut différencier et intégrer sous le signe de la série, tout comme on peut avec des séries de pouvoir ordinaire.

Ordre d'une série de puissance

Soit α être un multi-index pour une série de f de puissance (x _1, x _2, ..., x _n). L'ordre de la série de puissance f est défini comme étant le moins de valeur | α | tels que _α ≠ 0, ou 0 si f ≡ 0. En particulier, pour une série de puissance f (x) dans une seule variable x, l'ordre f est de la plus petite puissance de x par un coefficient différent de zéro. Cette définition se étend facilement à la Laurent série.

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