Desigualdad (matemáticas)

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La regiones factibles de programación lineal se define por un conjunto de desigualdades.

En matemáticas , una desigualdad es una declaración sobre el tamaño relativo o el orden de dos objetos. (Ver también: igualdad)

La notación $<b \! \$ significa que a es menor que b y
La notación $a> b \! \$ significa que a es mayor que b.

Estas relaciones se conocen como estricta desigualdad; en contraste

$un \ le b$ significa que a es menor que o igual a b;
$un \ ge b$ significa que a es mayor que o igual a b;
$un no \> b$ significa que un no es mayor que b y
$un no \ <b$ significa que a no es menor que b.

Un uso adicional de la notación es mostrar que una cantidad es mucho mayor que otra, normalmente por varios órdenes de magnitud.

La notación $un \ gg b$ significa que a es mucho mayor que b.
La notación $un \ ll b$ significa que a es mucho menor que b.

Si el sentido de la desigualdad es el mismo para todos los valores de las variables para las que se definen sus miembros, entonces la desigualdad se llama una desigualdad "absoluta" o "incondicional". Si el sentido de una desigualdad se cumple sólo para ciertos valores de las variables involucradas, pero se invierte o se destruye para otros valores de las variables, se llama una desigualdad condicional. El sentido de una desigualdad no se cambia si ambas partes se aumentan o disminuyen por el mismo número, o si ambas partes se multiplican o dividen por un número positivo; el sentido de una desigualdad se invierte si ambos miembros se multiplican o dividen por un número negativo .

Propiedades

Las desigualdades se regirán por las siguientes propiedades . Tenga en cuenta que, para la transitividad, la inversión, la suma y la resta y multiplicación y división propiedades, la propiedad también se cumple si los signos de desigualdad estricta (<y>) son reemplazados con su correspondiente signo no estricta desigualdad (≤ y ≥).

Tricotomía

La tricotomía estados de la característica:

Para cualquier número real , a y b, exactamente una de las siguientes situaciones:
- <b
- a = b
- a> b

La transitividad

La transitividad de las desigualdades establece:

Para cualquier números reales , a, b, c:
- Si a> b y b> c; a continuación, a> c
- Si a <b y b <c; entonces a <c

Inversión

Las relaciones de desigualdad son relaciones inversas:

Para cualquier números reales , a y b:
- Si a> b entonces b <a
- Si a <b entonces b> a

Suma y resta

Las propiedades que se ocupan de adición y sustracción estado:

Para cualquier números reales , a, b, c:
- Si a> b, entonces a + c> b + c y a - c> b - c
- Si a <b, entonces a + c <b + c y a - c <b - c

es decir, los números reales son una grupo ordenado.

Multiplicación y división

Las propiedades que se ocupan de la multiplicación y división de estado:

Para cualquier números reales, a, b, c:
- Si c es positivo y a <b, entonces ac <bc
- Si c es negativo y a <b, entonces ac> bc

Más generalmente esto se aplica para una campo ordenado, véase más adelante.

Inverso aditivo

Las propiedades de la aditivo estado inverso:

Para cualquier números reales a y b
- Si a <b entonces - a> - b
- Si a> b entonces - una <- b

Inverso multiplicativo

Las propiedades de la multiplicativo estado inverso:

Para cualquier números reales a y b que son a la vez positiva o ambos negativo
- Si a <b entonces 1 / a> 1 / b
- Si a> b entonces 1 / a <1 / b

Aplicando una función a ambos lados

Consideramos dos casos de funciones: monótona y estrictamente monótona.

Cualquier estrictamente monotónicamente creciente función se puede aplicar a ambos lados de una desigualdad y todavía se mantendrá. La aplicación de una función estrictamente monótona decreciente a ambos lados de una desigualdad significa la desigualdad opuesta tiene ahora. Las reglas para el aditivo y inversos multiplicativos son dos ejemplos de la aplicación de una función monótona decreciente.

Si usted tiene una desigualdad no estricta (a ≤ b, a ≥ b) a continuación:

La aplicación de una función monótona creciente preserva la relación (≤ permanece ≤, ≥ permanece ≥)
La aplicación de una función monótonamente decreciente invierte la relación (≤ convierte ≥, ≤ ≥ convierte)

Nunca llegará a ser estrictamente desigual, ya que, por ejemplo, 3 ≤ 3 no implica que <3 3.

Campos ordenados

Si F, +, * ser una de campo y ≤ ser una orden total en M, entonces M, +, *, ≤ se llama campo si y sólo si se pide:

si a ≤ b entonces a + c ≤ b + c
si 0 ≤ a ≤ b y 0 entonces 0 ≤ ab

Tenga en cuenta que tanto $\ Mathbb {Q}$ , +, *, Y ≤ $\ Mathbb {R}$ , +, *, Son ≤ campos ordenados.

≤ no puede definirse con el fin de hacer $\ Mathbb {C}$ , +, *, Una ≤ campo ordenado.

Las desigualdades no estrictos ≤ y ≥ sobre números reales son el total de pedidos. Las desigualdades estrictas <y> en números reales son Módulo: Total_order ( hablar · · hist · Enlaces · subpáginas · pruebas - los resultados).

Notación Encadenado

La notación a <b <c significa "a <b y b <c", de la que, por la propiedad de transitividad anterior, se desprende también que a <c. Obviamente, por las leyes anteriores, se puede añadir / restar el mismo número a los tres términos o multiplicar / dividir los tres términos de mismo número no nulo y sin efecto todas las desigualdades de acuerdo para firmar. . Pero hay que tener cuidado para que realmente utiliza el mismo número en todos los casos, por ejemplo, a <b + e <c es equivalente a un - e <b <c - e.

Esta notación se puede generalizar a cualquier número de términos: por ejemplo, un ₁ ≤ a ₂ ≤ ... ≤ a _n significa que un _i ≤ _i un ₁ para i = 1, 2, ..., n - 1. Por transitividad, esta condición es equivalente a un _i ≤ a _j para cualquier 1 ≤ i ≤ j ≤ n.

Al resolver desigualdades usando notación encadenada, es posible ya veces necesario evaluar los términos de manera independiente. Por ejemplo, para resolver las desigualdades 4 x <2 x + 1 ≤ 3 x + 2, usted no será capaz de aislar x en cualquier parte de la desigualdad a través de la suma o resta. En su lugar, puede resolver 4 x <2 x + 1 y 2 x + 1 ≤ 3 x + 2 independiente, produciendo x <1/2 yx ≥ -1 respectivamente, que se pueden combinar en la solución final -1 ≤ x < 1/2.

De vez en cuando, la notación encadenado se utiliza con las desigualdades en diferentes direcciones, en cuyo caso el significado es el conjunción lógica de las desigualdades entre los términos adyacentes. Por ejemplo, significa un <b> c ≤ d que a <b, b> c, y c ≤ d. Además de uso poco frecuente en las matemáticas, existe esta notación en algunos lenguajes de programación como Python .

En representación de las desigualdades en la línea número real

Cada desigualdad (excepto los que implican los números imaginarios) se pueden representar sobre el real recta numérica muestra las regiones oscuras en la línea.

Las desigualdades entre los medios

Hay muchas desigualdades entre los medios. Por ejemplo, para los números positivos $a_1$ , $a_2$ , ..., $a_n$

$H \ le G \ le A \ le Q$ , Donde

$H = \ frac {n} {\ frac {1} {a_1} + \ frac {1} {a_2} + ... + \ frac {1} {a_n}}$ ( media armónica),

$G = \ sqrt [n] {a_1 \ cdot a_2 \ cdot ... \ cdot a_n}$ ( media geométrica),

$A = \ frac {a_1 + a_2 + ... + a_n} {n}$ ( media aritmética ),

$Q = \ sqrt {\ frac {a_1 ^ 2 + a_2 ^ 2 + ... + a_n ^ 2} {n}}$ ( media cuadrática).

Las desigualdades de poder

A veces con la notación "desigualdad de poder" entender las desigualdades que contienen $a ^ b$ expresiones de tipo donde $un$ y $b$ son números reales positivos o expresiones de algunas variables. Pueden aparecer en los ejercicios de olimpiadas matemáticas y algunos cálculos.

Ejemplos

Si $x> 0$ , A continuación, $x ^ x \ ge \ dejó (\ tfrac {1} {e} \ right) ^ \ tfrac {1} {e}$
Si $x> 0$ , A continuación, $x ^ {x ^ x} \ ge x$
Si $x, y, z> 0$ , A continuación, $(X + y) ^ z + (x + z) ^ y + (y + z) ^ x> 2$ .
Para cualquier número real de distintas $un$ y $b$ , $\ Tfrac {e ^ b-e ^ a} {b-a}> e ^ {\ frac {a + b} {2}}$
Si $x, y> 0$ y $0 <p <1$ , A continuación, $(X + y) ^ p <x ^ p + y ^ p$
Si $x$ , $y$ y $z$ son positivos, entonces $x ^ x y y z ^ ^ z \ ge (xyz) ^ \ frac {x + y + z} {3}$
Si $un$ y $b$ son positivos, entonces $a ^ b + b ^ a> 1$ . Este resultado fue generalizado por R. Ozols en 2002 que demostró que si $a_1$ , $a_2$ , ..., $a_n$ son números reales positivos, entonces $a_1 ^ {+} a_2 a_2 ^ {a_3} + ... + a_n ^ {a_1}> 1$ (Resultado se publicó en letón trimestral populares científico-El cielo estrellado, ver referencias).

Desigualdades conocidos

Ver también Lista de las desigualdades.

Los matemáticos suelen utilizar las desigualdades a las cantidades consolidadas para el que las fórmulas exactas no se pueden calcular fácilmente. Algunas desigualdades se utilizan con tanta frecuencia que tienen nombres:

La desigualdad de Azuma
La desigualdad de Bernoulli
La desigualdad de Boole
Desigualdad de Cauchy-Schwarz
La desigualdad de Chebyshev
La desigualdad de Chernoff
Cramer-Rao desigualdad
Desigualdad de Hoeffding
La desigualdad de Hölder
Desigualdad de las medias aritmética y geométrica
La desigualdad de Jensen
La desigualdad de Kolgomorov
La desigualdad de Markov
Desigualdad de Minkowski
Desigualdad de Nesbitt
La desigualdad de Pedoe
La desigualdad del triángulo

Mnemotécnicos para estudiantes

Jóvenes estudiantes a veces confunden el menor que y mayor que los signos, que son imágenes especulares uno del otro. Una regla mnemotécnica comúnmente enseñado es que el signo representa la boca de un hambriento cocodrilo que está tratando de comer el número más grande; Por lo tanto, se abre hacia 8 tanto en 3 <8 y 8> 3. Otro método es darse cuenta de los grandes puntos de cantidad a la cantidad más pequeña y dice, "ha-ha, yo soy más grande que tú."

Además, en una línea numérica horizontal, el signo mayor que es la flecha que está en el extremo más grande de la línea de números. Del mismo modo, el símbolo menor que es la flecha en el extremo más pequeño de la recta numérica (<--- 0--1--2--3--4--5--6--7--8--9 --->).

Los símbolos también pueden ser interpretados directamente desde su forma - el lado con una gran separación vertical indica una gran (r) la cantidad, y el lado que es un punto indica una pequeña (er) cantidad. De esta forma los símbolos de desigualdad son similares a la musical crescendo y decrescendo. Los símbolos de la igualdad, la menos-que-o-igual, y mayores que o iguales a también se pueden interpretar con esta perspectiva.

Los números complejos y las desigualdades

Mediante la introducción de una orden lexicográfico de los números complejos , es una totalmente ordenado conjunto. Sin embargo, es imposible definir de manera que ≤ $\ Mathbb {C}$ , +, *, Se convierte en una ≤ campo ordenado. Si $\ Mathbb {C}$ , +, *, ≤ eran un campo ordenado, tiene que satisfacer las dos propiedades siguientes:

si a ≤ b entonces a + c ≤ b + c
si 0 ≤ a ≤ b y 0 entonces 0 ≤ ab

Debido a ≤ es una total del pedido, para cualquier número a, a ≤ 0 o 0 ≤ a. En ambos casos, 0 ≤ a ^2; esto significa que $i ^ 2> 0$ y $1 2 ^> 0$ ; así $1> 0$ y $-1> 0$ , Contradicción.

Sin embargo ≤ puede ser definida con el fin de satisfacer la primera propiedad, es decir, si a ≤ b entonces a + c ≤ b + c. Una definición que se utiliza a veces es el orden lexicográfico:

a ≤ b si $Re (a)$ < $Re (b)$ o ( $Re (a) = Re (b)$ y $Soy un)$ ≤ $Im (b)$ )

Puede ser fácilmente demostrado que para esta definición a ≤ b entonces a + c ≤ b + c

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