Matemáticas
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Matemáticas (coloquialmente, matemáticas o matemáticas) es el conjunto de conocimientos centrados en conceptos tales como la cantidad , estructura, espacio, y cambiar, y también la disciplina académica que los estudia. Benjamin Peirce llamó "la ciencia que extrae conclusiones necesarias". Otros profesionales de las matemáticas mantienen que la matemática es la ciencia del patrón, y que los matemáticos buscan patrones si encuentra en los números, el espacio, la ciencia, computadoras, abstracciones imaginarias, o en otros lugares. Los matemáticos explorar tales conceptos, con el objetivo de formular nueva conjeturas y establecer su verdad riguroso deducción de los elegidos de forma adecuada axiomas y definiciones.
Mediante el uso de la abstracción y la lógica razonamiento, las matemáticas se desarrollaron de contando, cálculo, medición , y el estudio sistemático de la formas y movimientos de los objetos físicos. Conocimiento y uso de las matemáticas básicas siempre han sido una parte inherente e integral de la vida individual y de grupo. Los refinamientos de las ideas básicas son visibles en textos matemáticos originarios de la egipcio antiguo, Mesopotamia, la India , Chino, Griego y Mundos islámicos. Argumentos rigurosos aparecieron por primera vez en Matemáticas griegas, sobre todo en Euclides 's Elementos . El desarrollo continuó en ráfagas intermitentes hasta el Renacimiento período del siglo 16 , cuando las innovaciones matemáticas interactuaron con el nuevo descubrimientos científicos, lo que lleva a una aceleración en la investigación que continúa hasta nuestros días.
Hoy en día, las matemáticas se utiliza en todo el mundo en muchos campos, incluyendo las ciencias naturales, la ingeniería , la medicina , y la ciencias sociales como la economía . Las matemáticas aplicadas , la aplicación de las matemáticas a tales campos, inspira y hace uso de los nuevos descubrimientos matemáticos y, a veces conduce al desarrollo de completamente nuevas disciplinas. Los matemáticos también se dedican a matemáticas puras o matemáticas para su propio bien, sin tener ninguna aplicación en mente, aunque las solicitudes de lo que comenzó como matemáticas puras se descubren a menudo más tarde.
Etimología
La palabra "matemáticas" (griego: μαθηματικά o mathēmatiká) viene del griego μάθημα (Mathema), lo que significa el aprendizaje, estudio, ciencia, y, además, llegó a tener el significado de "estudio matemático" más estrecho y más técnico, incluso en la época clásica. Su adjetivo es μαθηματικός (mathēmatikós), relacionadas con el aprendizaje, o estudioso, que entraron igualmente aún en el sentido matemático. En particular, μαθηματικὴ τέχνη (Mathematike TEKHNE), en América Mathematica ars, significaba el arte matemático.
La forma plural evidente en Inglés , como el francés plural les Matemáticas (y la menos utilizada singular derivado la mathématique), se remonta a la mathematica plural neutro latino ( Cicerón), basado en la μαθηματικά τα plural griego (ta mathēmatiká), utilizado por Aristóteles , y que significa más o menos "todas las cosas matemática". En Inglés, sin embargo, las matemáticas sustantivo toma formas verbales singulares. A menudo se acorta a las matemáticas en la de habla Inglés América del Norte y las matemáticas en otras partes.
Historia
La evolución de las matemáticas podría ser visto como una serie cada vez mayor de abstracciones, o, alternativamente, una expansión de la materia. La primera abstracción era probablemente la de los números . La comprensión de que dos manzanas y dos naranjas tienen algo en común fue un gran avance en el pensamiento humano. Además de reconocer cómo contar objetos físicos, pueblos prehistóricos también reconocieron cómo contar cantidades abstractas, como el tiempo - día , estaciones , año. La aritmética ( adición , sustracción , multiplicación y división ), llegan después.
Otras medidas necesitan escritura o algún otro sistema para los números de registro como recuentos o las cuerdas anudadas llamados quipu utilizado por el imperio Inca para almacenar datos numéricos. Sistemas de numeración han sido muchas y diversas, con los números primero conocidos escrita creados por los egipcios en los textos del Imperio Medio, como el Papiro matemático de Rhind.
Desde los inicios de la historia, las principales disciplinas dentro de las matemáticas surgieron de la necesidad de hacer cálculos relativos a la fiscalidad y comercio, para entender las relaciones entre los números, a medir la tierra, y para predecir los acontecimientos astronómicos . Estas necesidades pueden ser más o menos relacionados con el amplio subdivisión de las matemáticas en los estudios de la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio.
Matemáticas desde entonces se ha extendido mucho, y no ha habido una fructífera interacción entre las matemáticas y la ciencia, en beneficio de ambos. Descubrimientos matemáticos se han hecho a lo largo de la historia y seguir haciendo hoy. Según Mikhail B. Sevryuk, en la edición de enero 2006 de la Boletín de la Sociedad Americana de Matemáticas, "El número de artículos y libros incluidos en el Mathematical Reviews base de datos a partir de 1940 (el primer año de funcionamiento del MR) es ahora más de 1,9 millones, y más de 75 mil elementos se añaden a la base de datos cada año. La abrumadora mayoría de las obras en este océano contiene nuevas matemáticas teoremas y sus pruebas ".
Inspiración, matemáticas puras y aplicadas, y la estética
Matemáticas surge allí donde hay problemas difíciles que implican cantidad, estructura, espacio, o cambiar. Al principio estos se encuentran en comercio, medición de la tierra y más tarde la astronomía ; hoy en día, todas las ciencias sugieren problemas estudiados por los matemáticos, y muchos problemas surgen dentro de la propia matemática. Newton fue uno de los inventores cálculo infinitesimal, aunque casi todos de la notación utilizada en cálculo infinitesimal es una contribución de Leibniz con la excepción de un punto sobre una variable para significar la diferenciación con respecto al tiempo. Feynman inventó el Integral de trayectoria de Feynman utilizando una combinación de razonamiento y percepción física, y de hoy la teoría de cuerdas también inspira nuevas matemáticas. Algunos matemáticas sólo es relevante en el área que lo inspiró, y se aplica para resolver nuevos problemas en esa área. Pero a menudo las matemáticas inspirado en un área resulta útil en muchas áreas, y se une a la reserva general de los conceptos matemáticos. El hecho notable que incluso la matemática "pura" a menudo resulta tener aplicaciones prácticas es lo que Eugene Wigner ha llamado " la irrazonable efectividad de las matemáticas ".
Como en la mayoría de las áreas de estudio, la explosión del conocimiento en la era científica ha llevado a la especialización en matemáticas. Hacer una distinción importante entre matemáticas puras y matemáticas aplicadas . Varias áreas de la matemática aplicada se han fusionado con las tradiciones relacionadas fuera de las matemáticas y convertirse en disciplinas por derecho propio, incluyendo estadísticas , investigación de operaciones y ciencias de la computación .
Para los que se inclinan matemáticamente, hay a menudo un aspecto estético definitivo a gran parte de las matemáticas. Muchos matemáticos hablan de la elegancia de las matemáticas, sus intrínsecas estética e interior belleza. La sencillez y la generalidad se valoran. Hay belleza en una prueba simple y elegante, como Euclides prueba 's que hay infinitos números primos , y en un método numérico elegante que acelera el cálculo, como el transformada rápida de Fourier. GH Hardy en Apología de un matemático expresó la creencia de que estas consideraciones estéticas son, en sí mismos, suficientes para justificar el estudio de las matemáticas puras. Los matemáticos a menudo se esfuerzan por encontrar pruebas de teoremas que son particularmente elegante, una búsqueda Paul Erdös refiere a menudo como la búsqueda de pruebas de "El Libro" en la que Dios había escrito sus pruebas favoritas. La popularidad de la matemática recreativa es una muestra más del placer muchos encuentran en la solución de cuestiones matemáticas.
Notación, el lenguaje y rigor
La mayor parte de la notación matemática en uso hoy en día no se inventó hasta el siglo 16 . Antes de eso, las matemáticas fue escrito en palabras, un proceso laborioso que limita el descubrimiento matemático. En el siglo 18 , Euler fue responsable de muchas de las notaciones en uso hoy en día. Notación matemática moderna hace mucho más fácil para el profesional, pero los principiantes a menudo les resulta desalentadora. Es extremadamente comprimido: algunos símbolos contienen una gran cantidad de información. Al igual que la notación musical, la notación matemática moderna tiene una sintaxis estricta y codifica información que sería difícil escribir en cualquier otra forma.
Matemática idioma también es difícil para los principiantes. Las palabras como o y sólo tienen significados más precisos que en el habla cotidiana. También confuso para los principiantes, palabras tales como abierto y campo han dado significados matemáticos especializados. Jerga matemática incluye términos técnicos como homeomorfismo y integrable. Pero hay una razón para la notación especial y jerga técnica: las matemáticas requiere más precisión que el habla cotidiana. Los matemáticos se refieren a esta precisión del lenguaje y la lógica como "rigor".
El rigor es fundamentalmente una cuestión de prueba matemática . Los matemáticos quieren que sus teoremas a seguir a partir de axiomas por medio del razonamiento sistemático. Esto es para evitar "equivocadas teoremas ", basadas en intuiciones falibles, de los cuales muchos casos han ocurrido en la historia del sujeto. El nivel de rigor esperado en las matemáticas ha variado con el tiempo: los griegos esperaban argumentos detallados, pero en el momento de Isaac Newton los métodos empleados eran menos rigurosos. Los problemas inherentes a las definiciones utilizadas por Newton llevaría a un resurgimiento de un análisis cuidadoso y prueba formal en el siglo 19. Hoy en día, los matemáticos siguen discutiendo entre ellos acerca de pruebas asistidas por ordenador. Desde grandes cálculos son difíciles de verificar, tales pruebas pueden no ser lo suficientemente rigurosos. Axiomas en el pensamiento tradicional eran "verdades evidentes", pero que la concepción es problemática. A nivel formal, un axioma es una cadena de símbolos, que tiene un significado intrínseco sólo en el contexto de toda derivables fórmulas de una sistema axiomático. Era el objetivo de El programa de Hilbert para poner todas las matemáticas de forma axiomática firme, pero de acuerdo con Teorema de incompletitud de Gödel todos (lo suficientemente potente) sistema axiomático tiene fórmulas indecidibles; y así una final axiomatización de las matemáticas es imposible. Sin embargo las matemáticas a menudo se imagina que es (en cuanto a su contenido formal) nada más que la teoría de conjuntos de alguna axiomatización, en el sentido de que cada enunciado matemático o prueba podrían ser lanzados en fórmulas dentro de la teoría de conjuntos.
La matemática como ciencia
Carl Friedrich Gauss se refirió a las matemáticas como "la reina de las ciencias". En el original América Regina Scientiarum, así como en alemán Königin der Wissenschaften, la palabra correspondiente a los medios de ciencias (campo de) conocimiento. De hecho, este es también el significado original en Inglés, y no hay duda de que la matemática es en este sentido una ciencia. La especialización restringir el significado de la ciencia natural es de fecha posterior. Si se considera la ciencia que ser estrictamente sobre el mundo físico, entonces las matemáticas, o por lo menos la matemática pura, no es una ciencia. Albert Einstein ha declarado que "en cuanto a las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas, y la medida en que son ciertas, no se refieren a la realidad."
Muchos filósofos creen que las matemáticas no son experimentalmente falsable, y por lo tanto no es una ciencia según la definición de Karl Popper . Sin embargo, en la década de 1930 una importante labor en la lógica matemática mostró que las matemáticas no pueden reducirse a la lógica, y Karl Popper concluyó que "la mayoría de las teorías matemáticas son, como las de la física y la biología, hipotético-deductivo: las matemáticas puras, por tanto, resulta ser mucho más cerca a las ciencias naturales cuya hipótesis son conjeturas, lo que parecía incluso recientemente ". Otros pensadores, en particular Imre Lakatos, han solicitado una versión del falsacionismo a las matemáticas en sí.
Una visión alternativa es que ciertos campos científicos (como física teórica) son las matemáticas con axiomas que están destinadas a corresponder a la realidad. De hecho, el físico teórico, JM Ziman, propuso que la ciencia es el conocimiento público y por lo tanto incluye matemáticas. En cualquier caso, las matemáticas comparte mucho en común con muchos campos de las ciencias físicas, en particular la exploración de las consecuencias lógicas de supuestos. La intuición y la experimentación también desempeñan un papel en la formulación de conjeturas en las matemáticas y las ciencias (otros). Matemáticas Experimental continúa creciendo en importancia dentro de las matemáticas y la computación y la simulación están desempeñando un papel cada vez mayor tanto en las ciencias y las matemáticas, lo que debilita la objeción de que las matemáticas no utiliza el método científico. En su libro de 2002 Un nuevo tipo de ciencia, Stephen Wolfram sostiene que la matemática computacional merece ser explorado empíricamente como campo científico en su propio derecho.
Las opiniones de los matemáticos en esta materia son muy variadas. Muchos matemáticos consideran que llamar a su área de una ciencia es minimizar la importancia de su lado estético, y su historia en el tradicional siete artes liberales; otros creen que ignorar su conexión con las ciencias es hacer la vista gorda ante el hecho de que la interfaz entre las matemáticas y sus aplicaciones en la ciencia y la ingeniería ha impulsado gran parte del desarrollo de las matemáticas. Una forma de esta diferencia de punto de vista juega es en el debate filosófico sobre si las matemáticas se crea (como en el arte) o descubierto (como en la ciencia). Es común ver a las universidades divididas en secciones que incluyen una división de ciencias y matemáticas, lo que indica que los campos se ven como estar aliado pero que no coinciden. En la práctica, los matemáticos suelen agruparse con científicos en el nivel bruto, pero separados en niveles más finos. Esta es una de las muchas cuestiones que se consideran en el filosofía de las matemáticas.
Premios matemáticos generalmente se mantienen separados de sus equivalentes en la ciencia. El premio más prestigioso de las matemáticas es la Medalla Fields, fundada en 1936 y ahora concede cada 4 años. A menudo se considera, erróneamente, el equivalente de la ciencia de Premios Nobel. La Premio Wolf en Matemáticas, instituido en 1979, reconoce la trayectoria, y otro importante premio internacional, el Premio Abel, fue introducido en el año 2003. Estos se conceden por un cuerpo particular de trabajo, que puede ser la innovación, o la resolución de un problema pendiente en un campo establecido. Una famosa lista de 23 este tipo de problemas abiertos, llamado " Los problemas de Hilbert ", fue compilado en 1900 por el matemático alemán David Hilbert . Esta lista alcanzó gran celebridad entre los matemáticos, y al menos nueve de los problemas ya han sido resueltos. Una nueva lista de siete problemas importantes, titulado el " Problemas del Milenio Premio ", fue publicado en 2000. La solución de cada uno de estos problemas lleva una recompensa de $ 1 millón, y sólo uno (el Hipótesis de Riemann) se duplica en los problemas de Hilbert.
Los campos de las matemáticas
Como se señaló anteriormente, las principales disciplinas dentro de las matemáticas primero surgieron de la necesidad de hacer cálculos en el comercio, para entender las relaciones entre los números, para medir la tierra, y para predecir astronómicos eventos. Estos cuatro necesidades pueden ser más o menos relacionados con el amplio subdivisión de las matemáticas en el estudio de la cantidad, la estructura, el espacio y cambiar (es decir, la aritmética , álgebra , geometría y análisis ). Además de estas preocupaciones principales, también hay subdivisiones dedicadas a la exploración de los vínculos desde el corazón de las matemáticas a otros campos: a la lógica, a la teoría de conjuntos ( fundaciones), a las matemáticas empíricas de las diversas ciencias ( matemáticas aplicadas ), y más recientemente en el estudio riguroso de la incertidumbre.
Cantidad
El estudio de la cantidad comienza con números , primero los familiares números naturales y los números enteros ("números enteros") y operaciones aritméticas sobre los mismos, que se caracterizan en la aritmética . Las propiedades más profundas de los números enteros se estudian en la teoría de números , de donde esos resultados tan populares como el último teorema de Fermat . Teoría de los números también tiene dos problemas no resueltos considerados muy difundida: la Conjetura de los números primos gemelos y la conjetura de Goldbach .
Como el sistema de numeración se desarrolla más, los enteros se reconocen como un subconjunto de los números racionales (" fracciones "). Estos, a su vez, están contenidos dentro de los números reales , que se utilizan para representar las cantidades continuas. Los números reales son generalizadas a los números complejos . Estos son los primeros pasos de una jerarquía de números que va a incluir quarternions y octoniones. La consideración de los números naturales también conduce a la números transfinitos, que formalizan el concepto de contar hasta el infinito. Otra área de estudio es el tamaño, lo que conduce a los números cardinales y luego a otra concepción del infinito: la números aleph, que permiten una comparación significativa del tamaño de infinitamente grandes conjuntos.
Estructura
Muchos objetos matemáticos, tales como conjuntos de números y funciones , exhiben estructura interna. Las propiedades estructurales de estos objetos son investigados en el estudio de grupos , anillos, campos y otros sistemas abstractos, que son ellos mismos este tipo de objetos. Este es el campo de álgebra abstracta . Un concepto importante aquí es el de vectores , generaliza a espacios vectoriales , y estudió en el álgebra lineal . El estudio de los vectores combina tres de las áreas fundamentales de la matemática:. Cantidad, estructura y espacio cálculo vectorial amplía el campo en una cuarta área fundamental, el del cambio.
Teoría de los números Resumen álgebra La teoría de grupos Teoría de la orden
Espacio
El estudio del espacio origina con la geometría - en particular, la geometría euclidiana . trigonometría combina espacio y números, y abarca el bien conocido teorema de Pitágoras . El estudio moderno de espacio generaliza estas ideas para incluir geometría de dimensiones superiores, geometrías no euclidianas (que desempeñan un papel central en la relatividad general ) y topología . Cantidad y el espacio tanto juegan un papel en la geometría analítica , geometría diferencial , y geometría algebraica. Dentro de la geometría diferencial son los conceptos de haces de fibras y el cálculo de colectores . Dentro de la geometría algebraica es la descripción de los objetos geométricos como conjuntos de soluciones de polinomios ecuaciones, que combina los conceptos de cantidad y espacio, así como el estudio de grupos topológicos, que combinan la estructura y el espacio. Grupos de Lie se utilizan para estudiar el espacio, estructura y cambio. topología en todas sus muchas ramificaciones puede haber sido la mayor área de crecimiento en las matemáticas del siglo 20, e incluye el de larga data Conjetura de Poincaré y la polémica teorema de cuatro colores , cuya única prueba, por la computadora, nunca ha sido verificada por un ser humano.
Cambio
Entendimiento y descripción de cambio es un tema común en el ciencias naturales, y el cálculo fue desarrollado como una herramienta poderosa para investigarlo. Funciones surgen aquí, como un concepto central que describe una cantidad cambiante. El estudio riguroso de los números reales y funciones reales se conoce como análisis real, con análisis complejo el campo equivalente para los números complejos. La Hipótesis de Riemann, una de las preguntas abiertas más fundamentales de las matemáticas, se extrae del análisis complejo. El análisis funcional se centra la atención en (normalmente de dimensión infinita) espacios de funciones. Una de las muchas aplicaciones de análisis funcional es la mecánica cuántica . Muchos problemas conducen naturalmente a las relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio, y éstos se estudian como ecuaciones diferenciales . Muchos fenómenos en la naturaleza pueden ser descritos por sistemas dinámicos; la teoría del caos hace precisas las formas en que muchos de estos sistemas exhiben impredecible y aún así comportamiento determinista.
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| Cálculo | Cálculo vectorial | Ecuaciones diferenciales | Sistemas dinámicos | Teoría del caos |
Fundaciones y filosofía
Con el fin de aclarar la fundamentos de las matemáticas, los ámbitos de la lógica matemática y la teoría de conjuntos se desarrollaron, así como teoría de la categoría que todavía está en desarrollo.
La lógica matemática tiene que ver con el establecimiento de las matemáticas en una rígida marco axiomático, y el estudio de los resultados de dicho marco. Como tal, es el hogar de Segundo teorema de incompletitud de Gödel, quizás el resultado más ampliamente celebrado en la lógica, que (de manera informal) implica que cualquier sistema formal que contenga la aritmética básica, si el sonido (lo que significa que todos los teoremas que se pueden probar son verdad), es necesariamente incompleta (lo que significa que hay verdaderos teoremas que no pueden ser probadas en ese sistema). Gödel demostró cómo construir, cualquiera que sea la colección dada de axiomas de números teórico, una declaración formal en la lógica de que es un hecho cierto número teórico, pero que no se desprende de esos axiomas. Por lo tanto no existe un sistema formal es un verdadero axiomatización de la teoría de números completa. La lógica moderna se divide en teoría de la repetición, la teoría de modelos, y prueba de la teoría, y está estrechamente vinculado a teórico de la informática .
La lógica matemática Teoría de conjuntos Teoría de la categoría
La matemática discreta
La matemática discreta es el nombre común para los campos de las matemáticas más generalmente útiles en la informática teórica. Esto incluye teoría de la computabilidad, teoría de la complejidad computacional, y teoría de la información. Teoría de la computabilidad examina las limitaciones de los distintos modelos teóricos de la computadora, incluyendo el modelo más potente conocida - la Máquina de Turing. Teoría de la complejidad es el estudio de tratabilidad por ordenador; algunos problemas, aunque teóricamente solucionable por computadora, son tan caros en términos de tiempo o espacio que resolverlos es probable que se mantenga prácticamente inviable, incluso con el rápido avance de hardware del equipo. Conceptos Finalmente, teoría de la información se refiere a la cantidad de datos que se pueden almacenar en un medio dado, y por lo tanto como compresión y entropía.
Como un campo relativamente nuevo, la matemática discreta tiene una serie de problemas abiertos fundamentales. El más famoso de ellos es el " P = NP? "Problema, una de las Problemas del Milenio Premio.
Combinatoria Teoría de la computación Criptografía La teoría de grafos
Matemáticas aplicadas
Matemáticas Aplicadas considera el uso de herramientas matemáticas abstractas en la solución de problemas concretos en las ciencias , negocios y otras áreas. Un campo importante en matemática aplicada es las estadísticas , que utiliza la teoría de probabilidad como una herramienta y permite la descripción, el análisis y la predicción de los fenómenos donde el azar juega un papel. La mayoría de los experimentos, encuestas y estudios observacionales requieren el uso informado de las estadísticas. (Muchos estadísticos, sin embargo, no consideran a sí mismos como matemáticos, sino más bien parte de un grupo aliado.) Análisis numérico investiga métodos computacionales para resolver de manera eficiente una amplia gama de problemas matemáticos que son típicamente demasiado grande para la capacidad numérica humana; que incluye el estudio de errores de redondeo u otras fuentes de error en el cálculo.
Análisis numérico 
Optimización 
Matematicas FINANCIERAS
Errores comunes
Las matemáticas no es un sistema intelectual cerrado, en el que ya está todo resuelto. No hay escasez de problemas abiertos. Los matemáticos publican miles de documentos que incorporan los nuevos descubrimientos en matemáticas cada mes.
Las matemáticas no son numerología, ni es la contabilidad ; ni se limita a la aritmética .
Pseudomathematics es una forma de actividad matemática similar realizado fuera el mundo académico, y en ocasiones por los propios matemáticos. A menudo consiste en ataques determinados sobre cuestiones famosos, que consta de correctores intentos realizados de manera aislada (es decir, los documentos largos no compatibles con la teoría publicado previamente). La relación con las matemáticas generalmente aceptados es similar a la que existe entre pseudociencia y la ciencia real. Los malentendidos que se basan normalmente en:
- falta de comprensión de las implicaciones de rigor matemático;
- los intentos de eludir los criterios habituales para la publicación de artículos matemáticos en un revista aprendido después revisión por pares, a menudo en la creencia de que la revista está sesgada contra el autor;
- la falta de familiaridad con, y por lo tanto, la subestimación de la literatura existente.
El caso de La obra de Kurt Heegner muestra que el establecimiento matemática es ni infalible, ni dispuesto a admitir el error en la evaluación del trabajo "amateur". Y como la astronomía , las matemáticas debe mucho a los contribuyentes aficionados como Fermat y Mersenne.
Matemáticas y la realidad física
Conceptos y teoremas matemáticos no necesitan corresponder a cualquier cosa en el mundo físico. Medida en que existe una correspondencia, mientras que los matemáticos y los físicos pueden seleccionar axiomas y postulados que parecen razonables e intuitivo, no es necesario que los supuestos básicos dentro de un sistema axiomático para ser verdad en un sentido empírico o física. Por lo tanto, mientras que muchos sistemas axiomáticos se derivan de nuestras percepciones y experiencias, que no dependen de ellos.
Por ejemplo, podríamos decir que el concepto físico de dos manzanas puede ser precisa modelado por el número natural 2. Por otro lado, también podríamos decir que los números naturales no son un modelo preciso, porque no hay manzana estándar "unidad" y no hay dos manzanas son exactamente iguales. La idea de modelado se complica aún más por la posibilidad de fraccionarias manzanas o parciales. Así, mientras que puede ser instructivo para visualizar la definición axiomática de los números naturales como colecciones de manzanas, la definición misma no depende ni ningún derivado de entidades físicas reales.
Sin embargo, las matemáticas sigue siendo extremadamente útil para resolver problemas del mundo real. Este hecho llevó físico Eugene Wigner para escribir un artículo titulado " La irrazonable efectividad de las matemáticas en las ciencias naturales ".
