e (constante matemática)

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La constante e matemática es el único número real tal que el valor de la derivada (pendiente de la tangente de línea) de la función f (x) = e ^x en el punto x = 0 es exactamente 1. La función de correo ^x así definidas se llama la función exponencial , y su inversa es el logaritmo natural , o logaritmo base e. El número e también se define comúnmente como la base del logaritmo natural (utilizando un integral para definir el segundo), ya que la límite de una cierta secuencia , o como la suma de un cierto serie (ver representaciones de e , más adelante).

El número e es uno de los números más importantes en matemáticas, junto con el aditivo y multiplicativo identidades 0 y 1 , la constante π , y la unidad imaginaria i.

El número e es llamado a veces el número de Euler después de que el suizo matemático Leonhard Euler , o la constante de Napier en honor del escocés matemático John Napier que introdujo logaritmos . (E no se debe confundir con γ - la Constante de Euler-Mascheroni, a veces llamado simplemente la constante de Euler.)

Dado que e es trascendental, y por lo tanto irracional , su valor no se puede dar exactamente como un decimal finito o eventualmente repetir. El valor numérico de e truncado a 20 cifras decimales es:

2.71828 18284 59045 23536 ...

Historia

Las primeras referencias a la constante fueron publicados en 1618 en la mesa de un apéndice de una obra en logaritmos por John Napier. Sin embargo, esto no contenía la propia constante, sino simplemente una lista de los logaritmos naturales calculados a partir de la constante. Se supone que la tabla fue escrito por William Oughtred. El "descubrimiento" de la misma constante se acredita a Jacob Bernoulli, que trató de encontrar el valor de la siguiente expresión (que es, de hecho, e):

$\ Lim_ {n \ to \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {n} \ right) ^ n.$

El primer uso conocido de la constante, representado por la letra b, estaba en la correspondencia de Gottfried Leibniz para Christiaan Huygens en 1690 y 1691. Leonhard Euler comenzó a utilizar la letra e para la constante en 1727, y el primer uso del correo en una publicación era Mechanica de Euler (1736). Mientras que en los años posteriores a algunos investigadores utilizan la letra c, e era más común y con el tiempo se convirtió en la norma.

Las razones exactas de la utilización de la letra e son desconocidas, pero puede ser debido a que es la primera letra de la palabra exponencial. Otra posibilidad es que Euler usó porque era la primera vocal después de una, que ya usaba para otro número, pero su razón de usar las vocales se desconoce. Es poco probable que Euler eligió la carta, ya que es la primera letra de su apellido, ya que él era un hombre muy modesto y trató de dar crédito al trabajo de otros.

Aplicaciones

El problema del interés compuesto

Jacob Bernoulli descubrió esta constante mediante el estudio de una pregunta sobre interés compuesto.

Un ejemplo simple es una cuenta que comienza con $ 1.00 y paga el 100% por año. Si el interés se acredita una vez, al final del año, el valor es de $ 2.00; pero si el interés se calcula y se añadió dos veces en el año, de $ 1 se multiplica por 1,5 veces, produciendo $ 1.00 × 1.5² = $ 2.25. Para agravar produce trimestral $ 1,00 × 1,25 ⁴ = 2,4414 dólares ... y capitalización rendimientos mensuales $ 1,00 × (1,0833 ...) ¹² = 2,613035 dólares ....

Bernoulli dio cuenta de que esta secuencia se acerca a un límite de más y más pequeños intervalos de capitalización. Para agravar rendimientos semanales $ 2.692597 ..., mientras que la capitalización diaria produce $ 2.714567 ..., a sólo dos centavos más. Utilizando n como el número de intervalos de capitalización, con interés de 1/ n en cada intervalo, el límite para n grande es el número que llegó a ser conocido como el correo; con capitalización continua, el valor de la cuenta llegue a $ 2.7182818 .... De manera más general, una cuenta que comienza en $ 1, y los rendimientos (1+ R) de dólares a un interés simple, rendirán dólares ^Re con capitalización continua.

Ensayos de Bernoulli

El número en sí e también tiene aplicaciones en teoría de la probabilidad , en el que se plantea de una manera evidentemente, no relacionadas con el crecimiento exponencial. Supongamos que un jugador juega una máquina tragaperras que paga con una probabilidad de uno en n y la juega n veces. Entonces, para n grande (tal como un millón) la probabilidad de que el jugador va a ganar nada en absoluto es (aproximadamente) 1/ e.

Este es un ejemplo de una Proceso de ensayos Bernoulli. Cada vez que el jugador juega las ranuras, hay un uno en un millón de posibilidades de ganar. Reproducción de un millón de veces es modelado por la distribución binomial , que está estrechamente relacionada con la teorema del binomio. La probabilidad de ganar k veces de un millón de pruebas es;

$\ Binom {10 ^ 6} {k} \ left (10 ^ {- 6} \ right) ^ k (1-10 ^ {- 6}) ^ {10 ^ 6-k}.$

En particular, la probabilidad de ganar cero veces (k = 0) es

$\ Left (1- \ frac {1} {10 ^ 6} \ right) ^ {10 ^ 6}.$

Esto está muy cerca de los siguientes límites para 1/ correo:

$\ Frac {1} {e} = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1- \ frac {1} {n} \ right) ^ n.$

Trastornos Mentales

Otra aplicación de correo, también descubierto en parte por Jacob Bernoulli junto con Pierre Raymond de Montmort es en el problema de la trastornos, también conocido como el problema de verificación sombrero. Aquí n los huéspedes están invitados a una fiesta, y en la puerta cada huésped comprueba su sombrero con el mayordomo que luego los coloca en cajas etiquetadas. Pero el mayordomo no sabe el nombre de los invitados, y así debe ponerlos en cajas seleccionadas al azar. El problema de la de Montmort es: ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de los sombreros se puso en el cuadro de la derecha. La respuesta es:

$p_n = 1- \ frac {1} {1} +! \ frac {1} {2!} - \ frac {1} {3} +! \ cdots + (- 1) ^ n \ frac {1} {n! }.$

A medida que el número n de los huéspedes tiende a infinito, p _n se acerca 1/ e. Por otra parte, el número de formas en que los sombreros se pueden colocar en las cajas para que ninguno de los sombreros está en el cuadro de la derecha es exactamente n! / E, redondeado al entero más cercano.

Asintótica

El número e se produce de forma natural en relación con muchos problemas que involucran asintótica. Un ejemplo destacado es La fórmula de Stirling para los asintótica de la función factorial , en el que tanto el número ey π ENTRAR:

$n! \ Sim \ sqrt {2 \ pi n} \, \ frac {n ^ n} {e ^ n}.$

Una consecuencia particular de esta es

$e = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {n} {\ sqrt [n] {n!}}.$

e en cálculo

El logaritmo natural en E, ln (e), es igual a 1

La motivación principal para introducir el número e, sobre todo en el cálculo , es realizar diferencial y cálculo integral con funciones exponenciales y logaritmos . Un general función exponencial y = a ^x ha derivado dado como el límite :

$\ Frac {d} {dx} a ^ x = \ lim_ {h \ a 0} \ frac {a ^ {x + h} -a ^ x} {h} = \ lim_ {h \ a 0} \ frac { a ^ {x} a ^ {h} -a ^ x} {h} = a ^ x \ left (\ lim_ {h \ a 0} \ frac {a ^ h-1} {h} \ right).$

El límite en el lado derecho es independiente de la variable x: sólo depende de la base a. Cuando la base es e, este límite es igual a uno, y así e simbólicamente se define por la ecuación:

$\ Frac {d} {dx} e ^ x = e ^ x.$

En consecuencia, la función exponencial con base e es particularmente adecuado para hacer el cálculo. La elección de e, en oposición a algún otro número, como la base de la función exponencial hace que los cálculos que implican el derivado mucho más simples.

Otra motivación proviene de considerar el valor inicial de un logaritmo . Teniendo en cuenta la definición de la derivada de log _a x como el límite:

$\ Frac {d} {dx} \ log_a x = \ lim_ {h \ a 0} \ frac {\ log_a (x + h) - \ log_a (x)} {h} = \ frac {1} {x} \ izquierda (\ lim_ {u \ a 0} \ frac {1} {u} \ log_a (1 + u) \ right).$

Una vez más, hay un límite indeterminado que depende sólo de la base A, y si esa base es E, el límite es de uno. Así que, simbólicamente,

$\ Frac {d} {dx} \ log_e x = \ frac {1} {x}.$

El logaritmo en esta base especial se llama el logaritmo natural (a menudo representado como "ln"), y también se comporta bien bajo la diferenciación ya que no hay límite indeterminado para llevar a cabo los cálculos.

Así pues, hay dos maneras en que para seleccionar un número a = e especial. Una forma es configurar la derivada de la función exponencial a ^x a una ^x. La otra forma es establecer la derivada de la base de un logaritmo a 1 / x. En cada caso, se llega a una elección conveniente de base para hacer el cálculo. De hecho, estas dos bases son en realidad la misma, el número e.

Caracterizaciones alternativas

Otras caracterizaciones de correo también son posibles: una es como la límite de una secuencia, otro es como la suma de una series infinitas, y aún otros se basan en el cálculo integral . Hasta el momento, se han introducido las dos propiedades (equivalente) siguientes:

1. El número e es el único positivo número real tal que

$\ Frac {d} {dt} e ^ t = e ^ t.$

2. El número e es el número real positivo única tal que

$\ Frac {d} {dt} \ log_e t = \ frac {1} {t}.$

Los siguientes tres caracterizaciones pueden ser equivalente probada:

3. El número e es el límite

$e = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1 + \ frac {1} {n} \ right) ^ n$

El área bajo la gráfica y = 1 / x es igual a 1 en el intervalo de 1 ≤ x ≤ e.

4. El número e es la suma de la serie infinita

$e = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1} {n!} = \ frac {1} {0!} + \ frac {1} {1!} + \ frac {1} {2! } + \ frac {1} {3!} + \ frac {1} {4!} + \ cdots$

donde n! es el factorial de n.

5. El número e es el número real positivo única tal que

$\ Int_ {1} ^ {e} \ frac {1} {t} \, dt = {1}$ .

Propiedades

Cálculo

Como en la motivación, la función exponencial f (x) = e ^x es importante, en parte, porque es la única función no trivial (hasta multiplicación por una constante) que es su propio derivado

$\ Frac {d} {dx} e ^ x = e ^ x$

y por lo tanto su propio antiderivada así:

$e ^ x = \ int _ {- \ infty} ^ x e ^ t \, dt$

$= \ Int _ {- \ infty} ^ 0 e ^ t \, dt + \ int_ {0} ^ x e ^ t \, dt$

$\ Qquad = 1 + \ int_ {0} ^ e ^ x \ t, dt.$

Funciones exponenciales similares

El número x = e es donde el global máxima se produce para la función:

$f (x) = x ^ {1 \ over x}.$

Más generalmente, $x = \! \ \ sqrt [n] {e}$ es donde se produce el máximo global para la función de

$\! \ F (x) = x ^ {1 \ over {x ^ n}}$

El infinito tetración

$x ^ {x ^ {x ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}}}$

converge sólo si $e ^ {- e} \ le x \ le e ^ {1 / e},$ debido a un teorema de Leonhard Euler .

Por último, la función exponencial e ^x se define generalmente como

$e ^ {x} = 1 + {x \ más de 1!} + {x ^ {2} \ over 2!} + {x ^ {3} \ over 3!} + \ cdots$

Teoría de los números

El número real e es irracional (véase prueba de que e es irracional), y además es trascendental ( Lindemann-Weierstrass). Fue el primer número que demostrar trascendental sin haber sido construido específicamente para este propósito (comparar con Número de Liouville). La prueba fue dada por Charles Hermite en 1873. Se conjetura que ser normal.

Los números complejos

Cuenta en La fórmula de Euler, una fórmula importante relacionado con los números complejos :

$e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x, \, \!$

El caso especial con x = π es conocida como la identidad de Euler :

$e ^ {i \ pi} 1 = 0. \, \!$

de donde se sigue que, en el rama principal del logaritmo,

$\ Log_e (-1) = i \ pi. \, \!$

Por otra parte, el uso de las leyes para la exponenciación,

$(\ Cos x + i \ sin x) ^ n = \ left (e ^ {ix} \ right) ^ n = e ^ {inx} = \ cos (nx) + i \ sin (nx)$

cual es fórmula de De Moivre.

Representaciones e

El número e puede ser representado como un número real en una variedad de maneras: como una serie infinita, una producto infinito, una fracción continua, o una límite de una secuencia. El jefe entre estas representaciones, sobre todo en introductorios de cálculo cursos es el límite

$\ Lim_ {n \ to \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {n} \ right) ^ n,$

dado anteriormente, así como la serie

$e = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1} {n!}$

determinado mediante la evaluación de la serie de potencias de arriba para e ^x en x = 1.

Todavía otras representaciones menos comunes también están disponibles. Por ejemplo, E puede ser representado como un infinito sencilla fracción continua:

$e = 2 + \ cfrac {1} {1+ \ cfrac {1} {{\ mathbf 2} + \ cfrac {1} {1+ \ cfrac {1} {1+ \ cfrac {1} {{\ mathbf 4 } + \ cfrac {1} {\ ddots}}}}}}$

O, en una forma más compacta (secuencia A003417 en OEIS ):

$e = [[2; 1, \ textbf {2}, 1, 1, \ textbf {4}, 1, 1, \ textbf {6}, 1, 1, \ textbf {8}, 1, \ ldots, 1, \ textbf {2n} , 1, \ ldots]] \,$

¿Qué se puede escribir más armoniosamente al permitir cero:

$e = [[1, \ textbf {0}, 1, 1, \ textbf {2}, 1, 1, \ textbf {4}, 1, 1, \ textbf {6}, 1, \ ldots]] \,$

Muchas otras series, secuencia, fracción continua, y representaciones de productos infinitos de correo también se han desarrollado.

Representaciones estocásticos de correo

Además de las expresiones analíticas deterministas para la representación de E, como se describió anteriormente, hay algunos protocolos estocásticos para la estimación de e. En uno de tales protocolo, muestras aleatorias $X_1, X_2, ..., X_n$ de tamaño n de la distribución uniforme en (0, 1) se utilizan para aproximar e. Si

$U = \ min {\ left \ {n \ mediados x_1 + X_2 + ... + X_n> 1 \ right \}},$

entonces la expectativa de U es el correo: $E (T) = e$ . Así promedios de las muestras de las variables U se aproximarán e.

Dígitos conocidos

El número de dígitos conocidos de correo ha aumentado dramáticamente en las últimas décadas. Esto se debe tanto al aumento de rendimiento de los ordenadores, así como a mejoras algorítmicas.

Número de dígitos decimales conocidas de *correo*
Fecha	Los dígitos decimales	Cálculo realizado por
1748	18	Leonhard Euler
1853	137	William Shanks
1871	205	William Shanks
1884	346	JM Boorman
1946	808	?
1949	2010	John von Neumann (en el ENIAC)
1961	100265	Daniel Shanks & John W. Llave
1994	10000000	Robert Nemiroff y Jerry Bonnell
05 1997	18199978	Patrick Demichel
08 1997	20000000	Birger Seifert
09 1997	50000817	Patrick Demichel
02 1999	200000579	Sebastián Wedeniwski
10 1999	869894101	Sebastián Wedeniwski
21 de noviembre de 1999	1250000000	Xavier Gourdon
10 de julio de 2000	2147483648	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
16 de julio de 2000	3221225472	Colin Martin & Xavier Gourdon
2 de agosto de 2000	6442450944	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
16 de agosto de 2000	12884901000	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
21 de agosto de 2003	25100000000	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
18 de septiembre de 2003	50100000000	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
27 de abril de 2007	100000000000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo

e en la cultura informática

En contemporánea Internet cultura, personas y organizaciones con frecuencia rinden homenaje al número e.

Por ejemplo, en el IPO presentación de Google , en 2004, en lugar de una cantidad de números típica ronda de dinero, la compañía anunció su intención de elevar 2718281828 EE.UU. dólares, que es e billón de dólares al dólar más cercano. Google también fue responsable de una cartelera misteriosa que apareció en el corazón de Silicon Valley, y más tarde en Cambridge, Massachusetts; Seattle, Washington ; y Austin, Texas. Decía {primer jefe de 10 dígitos que se encuentra en dígitos consecutivos de e} .com. La solución de este problema y de que visiten la página web anuncian dado lugar a un problema aún más difícil de resolver, que a su vez conduce a Google laboratorios donde se invita al visitante a presentar un curriculum vitae. El primer jefe de 10 dígitos en e es 7427466391, que comienza en el dígito 99a. (Una corriente aleatoria de dígitos tiene la oportunidad 98,4% de iniciar un primer 10 dígitos antes.)

En otro caso, el eminente científico de la computación Donald Knuth dejar que los números de versión de su programa Enfoque METAFONT e. Las versiones son 2, 2,7, 2,71, 2,718, y así sucesivamente.

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