Onda (matemática)

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No cálculo vetorial , onda (ou: rotor) é um operador vetorial que mostra um "Taxa do campo vetorial de rotação ", isto é, a direcção do eixo de rotação ea magnitude da rotação. Ele também pode ser descrito como o densidade de circulação.

"Rotação" e "circulação" são utilizados aqui para propriedades de uma função de vetor de posição, independentemente da sua possível mudança no tempo.

Um campo vetorial que tem zero de onda em todos os lugares é chamado irrotacional.

O rotor terminologia alternativa e notação alternativa (usado em muitos países europeus) é $\ Operatorname {podridão} (\ mathbf {F})$ são muitas vezes utilizados para enrolar e $\ Operatorname {onda} (\ mathbf {F})$ .

Coordenar-invariante Definição como um Density Circulation

O componente de $\ Operatorname {onda} (\ mathbf {F})$ na direcção da unidade de vetor $\ Mathbf {\ hat u}$ é o limite de um integral de linha por unidade de área $\ Mathbf {F}$ , Ou seja, a seguinte integral para o curva fechada $\ S parcial ^ {(2)}$ . Esta curva é fechada em um plano perpendicular ao $\ Mathbf {\ hat u}$ :

$\ Mathbf {\ hat u} _ {| \, (\, S ^ {(2)} \ perp \ mathbf \ u \ chapéu,)} \ cdot \ operatorname {onda} (\ mathbf {F}) = \ lim_ {S ^ {(2)} \ rightarrow 0} \ frac {1} {| S ^ {(2)} |} \ oint _ {\ S parcial ^ {(2)}} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {l}$

Agora, para calcular as componentes de $\ Operatorname {onda} (\ mathbf {F})$ por exemplo, em coordenadas cartesianas , substitua $\ Mathbf {\ hat u}$ com vetores unitários i, j e k.

Isto define não só a curvatura de uma maneira livre de quaisquer coordenadas, mas torna igualmente visível que é uma densidade de circulação.

O teorema de Stokes (ver abaixo) pode ser directamente obtido a partir dele e a representação em coordenadas especiais podem ser obtidos de forma explícita.

Uso

Na matemática a onda é definida como:

$\ Operatorname {onda} (\ mathbf {F}) = \ vec {\ Nabla} \ times \ vec {F}$

em que F é o campo de vectores a que a onda está a ser aplicado. Embora a versão da direita é estritamente uma abuso de notação, ainda é útil como um mnemonic se levarmos $\ Nabla$ como um vetor operador diferencial ou del nabla. Essa notação envolvendo operadores é comum em física e álgebra .

Expandiu-se em coordenadas cartesianas , $\ Vec {\ Nabla} \ times \ vec {F}$ é, por F composto de [F _{x, y} F, F _z]:

$\ Begin {bmatrix} {\ frac {\ F_z parcial} {\ y parcial}} - {\ frac {\ F_y parcial} {\ z parcial}} {\\ \\ \ frac {\ F_x parcial} {\ z parcial }} - {\ frac {\ F_z parcial} {\ x parcial}} {\\ \\ \ frac {\ F_y parcial} {\ x parcial}} - {\ frac {\ F_x parcial} {\ y parcial}} \ end {bmatrix}$

Embora expressa em termos de coordenadas, o resultado é invariante sob rotações próprios dos eixos de coordenadas, mas o resultado inverte sob reflexão.

Uma representação simples da forma expandida da onda é:

$\ Begin {bmatrix} {\ frac {\ partial} {\ x parcial}} {\\ \\ \ frac {\ partial} {\ y parcial}} {\\ \\ \ frac {\ partial} {\ z parcial }} \ end {bmatrix} \ times F$

isto é, do cruzamento F, ou como a determinante da seguinte matriz:

$\ Begin {bmatrix} \ mathbf {i} e \ mathbf {} j & \ mathbf {k} \\ \\ {\ frac {\ partial} {\ x parcial}} & {\ frac {\ partial} {\ partial y}} & {\ frac {\ partial} {\ z parcial}} \\ \\ F_x & F_y & F_z \ end {bmatrix}$

em que i, j, k e a são vetores unitários para a x, y - - e -axes z, respectivamente.

Em Notação de Einstein, com a Levi-Civita símbolo é escrito como:

$(\ Vec {\ Nabla} \ times \ vec {F}) _k = \ epsilon_ {k \ ell m} \ partial_ \ ell F_m$

ou como:

$(\ Vec {\ Nabla} \ times \ vec {F}) = \ boldsymbol {\ hat {e}} _ k \ epsilon_ {k \ ell m} \ partial_ \ ell F_m$

para vetores unitários: $\ Boldsymbol {\ hat {e}} _ k$ , K = 1,2,3 correspondente a $\ Boldsymbol {\ hat {x}}, \ boldsymbol {\ hat {y}}$ E $\ Boldsymbol {\ hat {z}}$ respectivamente.

Usando o exterior derivado, é escrito simplesmente como:

$dF \,$

Tomando a derivada exterior de um campo de vectores não resulta em um outro campo de vectores, mas um 2-forma ou bivector campo, devidamente escrito como $P \, (dx \ cunha dy) + Q \, (dy \ cunha dz) + R \, (dz \ cunha dx)$ .

Desde bivectors são geralmente considerados menos intuitivo do que vetores comuns, a R ³- duplo: $* DF \,$ é comumente utilizado em vez (onde $* \,$ indica o Hodge operador de estrela). Isto é um operação quiral, produzindo um pseudovetor que assume valores opostos no canhoto e destro sistemas de coordenadas.

Interpretando a onda

O rotacional do campo vetorial nos fala sobre a rotação do campo tem em qualquer ponto. A magnitude da onda nos diz o quanto de rotação que existe. A direção nos diz, pela regra da mão direita (quatro dedos da mão direita estão enroladas na direcção do movimento e os pontos polegar no sentido de rotação do eixo) sobre a qual o campo está a rodar.

Um dispositivo comumente utilizado para pensar sobre onda é a roda de pás. Se tivéssemos que colocar uma pequena roda de pás em um ponto no campo vetorial em questão e tratar os vetores desenhada e seus comprimentos como correntes em um rio com magnitude e direção, independentemente da forma como a roda de pás tenderia a transformar é a direção do a onda nesse ponto. Por exemplo, se duas correntes estão tentando girar a roda em sentidos opostos, a uma mais forte (o mais vector) vai ganhar.

Exemplos

Um campo de vetores simples

Leve o campo de vectores construídos utilizando vetores unitários

$\ Vec {F} (x, y) = y \ boldsymbol {\ hat {x}} - x \ boldsymbol {\ hat {y}}$ .

Seu enredo parece com isso:

Simplesmente por inspeção visual, podemos ver que o campo está girando. Se mantivermos uma roda em qualquer lugar, vemos imediatamente a sua tendência para girar no sentido horário. Usando o regra da mão direita, esperamos que a onda de ser na página. Se quisermos manter um destro sistema de coordenadas, para dentro da página será no sentido negativo z.

Se fizermos as contas e encontrar a onda:

$\ Vec {\ nabla} \ times \ vec {F} = 0 \ boldsymbol {\ hat {x}} + 0 \ boldsymbol {\ hat {y}} + [{\ frac {\ partial} {\ x parcial}} (-x) - {\ frac {\ partial} {\ y parcial}} y] \ boldsymbol {\ hat {z}} = - 2 \ boldsymbol {\ hat {z}}$

Que é de fato na direção negativa z, conforme o esperado. Neste caso, a onda é, na verdade, uma constante, independentemente da posição. A "quantidade" de rotação no campo de vectores acima é a mesma em qualquer ponto (x, y). Conspirando a onda de F não é muito interessante:

Um exemplo mais envolvidos

Suponha que nós consideramos agora um campo vetorial um pouco mais complicado:

$F (x, y) = - x ^ 2 \ boldsymbol {\ hat {y}}$ .

Seu enredo:

Podemos não ver qualquer rotação inicialmente, mas se olhar de perto a direita, vemos um campo maior, digamos, x = 4 do que em x = 3. Intuitivamente, se colocada uma pequena roda de pás que, quanto maior for "corrente" sobre o seu lado direito faria com que a roda de pás a rodar no sentido horário, o que corresponde a uma curvatura na direcção Z negativa. Por outro lado, se olharmos para um ponto no lado esquerdo e colocada uma pequena roda de pás lá, a maior "corrente" sobre o seu lado esquerdo iria causar a roda de pás a rodar para a esquerda, o que corresponde a uma curvatura na direcção Z positiva. Vamos verificar o nosso palpite, fazendo as contas:

$\ Vec {\ nabla} \ times \ vec {F} = 0 \ boldsymbol {\ hat {x}} + 0 \ boldsymbol {\ hat {y}} + {\ frac {\ partial} {\ x parcial}} ( -x ^ 2) \ boldsymbol {\ hat {z}} = - 2x \ boldsymbol {\ hat {z}}$

Com efeito, a curvatura é na direcção Z positiva para x e negativos na direcção z negativo para x positivos, como esperado. Uma vez que esta onda não é a mesma em todos os pontos, seu enredo é um pouco mais interessante:

Onda de F com o plano x = 0 enfatizou em azul escuro

Notamos que o enredo desta onda tem nenhuma dependência em y ou z (como ele não deveria) e está na direção z negativo para x positivas e na direção z positivo para negativo x.

Três exemplos comuns

Considere o exemplo ∇ × [v × F]. Usando coordenadas cartesianas, se puder ser demonstrado que

$\ Mathbf {\ nabla \ times} \ left (\ mathbf {v \ times F} \ right) = \ left [\ left (\ mathbf {\ nabla \ cdot F} \ right) + \ mathbf {F \ cdot \ nabla } \ right] \ mathbf {v} - \ left [\ left (\ mathbf {\ nabla \ cdot v} \ right) + \ mathbf {v \ cdot \ nabla} \ right] \ mathbf {F} \.$

No caso em que o campo de vectores v e ∇ são permutadas:

$\ Mathbf {v \ \ times} \ left (\ mathbf {\ nabla \ times F} \ right) = \ nabla_F \ left (\ mathbf {v \ cdot F} \ right) - \ left (\ mathbf {v \ cdot \ nabla} \ right) \ mathbf {F} \,$

que introduz a notação Feynman subscrito ∇ _F, o que significa que o gradiente subscrita opera com apenas o fator F.

Outro exemplo é ∇ × [∇ × F]. Usando coordenadas cartesianas, se puder ser demonstrado que:

$\ Nabla \ times \ left (\ mathbf {\ nabla \ times F} \ right) = \ mathbf {\ nabla} (\ mathbf {\ nabla \ cdot F}) - \ nabla ^ 2 \ mathbf {F} \,$

que, com alguns cabeça-a arranhar, pode ser interpretado como um caso especial de o primeiro exemplo, com a substituição v → ∇.

Exemplos descritivos

Em uma furacão os ventos são rotação em torno do olho, e um campo de vectores, mostrando velocidades de vento que tem uma curvatura diferente de zero para o olho, e possivelmente noutros locais (ver vorticidade).
Num campo de vectores que descreve as velocidades lineares de cada parte individual de um disco rotativo, a onda terá um valor constante em todas as partes do disco.
Se as velocidades de carros em uma rodovia foram descritos com um campo de vetores, e as pistas tinham limites de velocidade diferentes, a ondulação nas fronteiras entre pistas seria diferente de zero.
A lei de Faraday da indução, uma das equações de Maxwell , pode ser expressa de maneira muito simples usando onda. Afirma que a curvatura de um campo eléctrico é igual ao oposto da taxa de tempo de mudança do campo magnético.

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